Mavzu: Gomomorf va izamorf gruppalar

A A.

4. 
   A musbat haqiqiy sonlarning ko`paytirishga nisbatan gruppasi, A barcha haqiqiy sonlaning qo`shishga nisbatan gruppasi bo`lsin. a  A elementga log a  A
   

ni o`zaro bir qiymatli mos keltirsak, bu moslik elementlarni ko`paytirishda o`z

kuchini	saqlaydi.	Haqiqatan,	a  log a		va			b  log b	bo`lsa,
ab  log ab  log a  log b kelib chiqadi. Shunday qilib,				A 			.
						A

5-teorema. (gomomorfizm haqidagi teorema). A gruppa A gruppaga gomomorf akslansa, A / H faktor gruppa A gruppaga izomorf akslanadi, bunda

8. 
    gomomorfizm yadrosi.
   

Isboti. A  A gomomorfizm berilagan. A ni bu gomomorfizmning H yadrosi bo`yicha qo`shni A  H  Ha  Hb  Hc  Hd ... sistemalarga yoysak, 3-teoremaga asosan




A / H  {H, Ha, Hb, Hc, Hd,...}
gruppa elementlari A  {e, a, b, c, d ,...} gruppa elementlariga o`zapa bir qiymatli akslanadi: H  e, Ha  a, Hb  b, Hc  c, Hd  d ,... bu akslanishlar elementlarni ko`paytirishda o`z kuchini saqlaydi. Haqiqatan ham, Ha, Hb ni A / H ning ixtiyoriy elementlari deb qarasak, shu bilan birga Ha  a, Hb  b ni nazarda tutsak, A  A gomomorfizmda a  a va b  b dan ab  ab kelib chiqqani uchun Hab  ab bo`ladi. Bu esa Hab  HHab  Ha  Hb  ab ni bildiradi.

Demak, A / H  A .

Chekli gruppalar bo`lgan holda gruppaning qism gruppa bo`yicha yoyilmasining mavjudligi ushbu muhim teoremaga olib keladi: