Maвзу фурье қатори. Тоқ ва жуфт функцияларни Фурье қаторига ёйиш

3. Берилган функцияни Фурье тригониметрик қаторига ёйиш. 
Фурье қаторлари назариясида ҳам функсионал қаторлар назариясидаги 
сингари қуйидаги учта масала муҳим аҳамиятга эга: 
1)
берилган 
 
функцияни даврга эга бўлган даврий функциялардан 
тузилган (9) кўринишдаги чексиз йиғинди, яъни қатор орқали 
ифодалаш; 
2)
агар (9) қатор берилган бўлса, у нинг қайси оралиқдаги қйматлари 
учун қандай функцияга яқинлашади ѐки қандай функциянинг ѐйилмаси 
бўлади? 
3)
агар (9) тенглик ўринли бўлса, қаторнинг коеффицентлари 
лар 
қандай топилади? 
Қўйилган масалани ечишдан аввал, келгусида муҳим аҳмиятга эга бўлган 
тригонометрик фуунксиялар синус ва cосинуслардан тузилган асосий 
тригонометрик функциялар системаси деб аталувчи системанинг 
ортогоналлик хоссаси билан танишамиз. 
Асосий тригонометрик система ва унинг ортогоналлиги 
Равшанки (9) қаторнинг ҳадлари
(10) 
система элементлари орқали тузилган. Одатда (10) система асосий 
тригонгометрик функциялар системаси дейилади. (10) асосий тригонометрик 
T
)
(
x
f






















N
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
f
x
T
k
A
A
k
x
T
k
A
A
T
x
T
k
A
A
T
x
f
1
0
1
0
1
0
)
(
)
2
sin(
]
2
)
2
sin[(
]
)
(
2
sin[
)
(







x
T
k
A
x
T
k
A
x
T
k
A
k
k
k
k
k
k






2
sin
cos
2
cos
sin
)
2
sin(





k
k
k
A
a

sin

k
k
k
A
b

cos

2
A
,
2
0
0
a
l
T







N
k
k
k
N
x
l
k
b
x
l
k
a
a
x
f
1
0
)
sin
cos
(
2
)
(








1
0
)
sin
cos
(
2
)
(
k
k
k
x
l
k
b
x
l
k
a
a
x
f


l
2
)
(
x
f
l
2
x
k
k
b
a
a
,
,
0
,...
sin
,
cos
,...
2
sin
,
2
cos
,
sin
,
cos
,
2
1
l
x
k
l
x
k
l
x
l
x
l
x
l
x







---

система 
оралиқда ортогонал бўлган системадир, яъни унинг ўзаро тенг 
бўлмаган иккита хар хил ҳади кўпайтмасидан 
оралиқ бўйича олинган 
интеграл нолга тенг; ҳар бирининг квадратларидан 
оралиқ бўйича 
олинган интеграл нолдан фарқли; 
1)
(11) 
2) 
(12) 
Худди шундай, 
(13) 
3) 
(14) 
Энди (9) ѐйилманинг коэффициентларини топиш масаласи билан 
шуғулланамиз. 
Агар (9) қатор 
оралиқда 
га текис ѐки ўртача яқинлашувчи 
бўлса, у ҳолда уни ҳадма-ҳад интеграллаш мумкин бўлади. Бу тасдиқ, (9)ни 
бирор интегралланувчи функцияга кўпайтирган ҳолда ҳам ўринли бўлади. 
(10) системанинг ортогоналлигини эътиборга олиб, (9)нинг иккала томонини 
оралиқда ҳадма – ҳад интеграллаб, 
коэффициентни топамиз: 
(15) 
]
,
[
l
l

]
,
[
l
l

]
,
[
l
l
































0
)
1
(
)
1
(
2
1
cos
2
1
cos
1
2
1
sin
2
1
0
sin
1
2
1
cos
2
1
k
k
l
l
l
x
l
x
l
l
l
x
l
x
l
l
k
l
dx
l
x
k
l
x
k
k
dx
l
x
k
l
x
k
k
dx
l
x
k








k
n
dx
l
x
n
k
l
x
n
k
dx
l
x
n
l
x
k
l
l
l
l










,
0
]
)
(
cos
)
(
[cos
2
1
cos
cos



















k
n
dx
l
x
n
l
x
k
k
n
dx
l
x
n
l
x
k
l
l
l
l
,
0
cos
sin
,
0
sin
sin



































l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
dx
l
dx
x
l
k
xdx
l
k
l
dx
x
l
k
xdx
l
k
.
2
1
)
2
1
(
,
2
cos
1
sin
,
2
cos
1
cos
2
2
2
2
2




]
,
[
l
l

)
(
x
f
]
,
[
l
l

0
a
dx
x
f
l
a
l
a
xdx
l
k
b
xdx
l
k
a
dx
a
dx
x
f
l
l
l
l
k
l
l
k
l
l
k
l
l



















)
(
1
,
]
sin
cos
[
2
)
(
0
0
1
0



---

нинг олдидаги коэффициент
ни топиш учун (9) нинг иккала 
томонини 
га кўпайтириб, уни 
 
бўйича 
дан 
 
гача 
интеграллаймиз.((11)-(14) ларни этиборга олган ҳолда): 
(16) 
ни топамиз. 
Худди шундай 
нинг олдидаги коэффициеснт 
ни топиш учун 
((11)-(14)ларни эътиборга олган ҳолда) (9) нинг иккала томонини 
га 
кўпайтириб, 
х 
бўйича 
дан 
 
гача интеграллаб, 
(17) 
ни топамиз. 
2-таъриф.
Коэффициеснтлари (15),(16) ва (17) формулалар орқали 
топиладиган ушбу
(18) 
тригонометрик қаторга 
функциянинг Фурье қатори , 
коэффициентларни эса унинг Фурье коэффициеснтлари дейилади. 
(15),(16) ва (17) интегралларнинг мавжуд бўлиши учун 
функциянинг 
оралиқда интегралланувчи бўлиши етарли. Шунинг учун 
ҳар бир 
оралиқда интегрралланувчи 
функцияга коэффициеснтлари 
(15)-(17) формулалар билан аниқланадиган (18) тригонометрик қаторни мос 
қўйиш мумкин: 
(19) 
Умуман олганда
функциядан интегралланувчанлигидан ташқари бошқа 
шарт талаб қилинмаса, (19) да тенглик ишорасини қўйиб бўлмайди. 
Енди 
 
га қандай етарли шарт қўйилганда (19) да тенглик ишорасини 
қўйиш мумкин деган масала билан шуғулланамиз. Бу масалани қарашдан 
аввал бирор берилган
функциянинг (14) кўринишдаги тригонометрик 
қаторини тузишга доир бир нечта мисолларни қараймиз. 
x
l
k

cos
k
a
x
l
n

cos
x
l

l
xdx
l
n
x
f
l
a
l
a
xdx
l
n
a
xdx
l
n
x
l
k
b
xdx
l
n
l
k
a
xdx
l
n
a
xdx
l
n
x
f
l
l
n
n
l
l
n
l
l
k
l
l
k
l
l
k
l
l








cos
)
(
1
,
cos
cos
sin
cos
cos
cos
2
cos
)
(
2
1
0




 

















x
l
k

sin
k
b
x
l
n

sin
l

l
xdx
l
n
x
f
l
b
l
l
k

sin
)
(
1








1
0
)
sin
cos
(
2
k
k
k
x
l
k
b
x
l
k
a
a


)
(
x
f
k
k
b
a
a
,
,
0
)
(
x
f
]
,
[
l
l

]
,
[
l
l

)
(
x
f






1
0
)
sin
cos
(
2
)
(
k
k
k
x
l
k
b
x
l
k
a
a
x
f


)
(
x
f
)
(
x
f
)
(
x
f

---

1-мисол
. 
оралиқда аниқланган 
функциянинг 
тригонометрик Фурье қатори тузилсин. 
Ечилиши:
(15)-(17) формулалардан фойдаланиб тригонометрик 
қаторнинг 
коэффициентларини топамиз: 
(10) 
система 
ортогонал 
функциялар 
системасининг 
хусусий 
ҳолидир.Умумийроқ бўлган ортогонал системалар билан кейинроқ 
танишамиз. 
топилган коэффициентларнинг қийматларини (9) га қўйиб, ушбу
қаторни ҳосил қиламиз. Бунда 
дэсак, ушбу 
сонли қатор ҳосил бўлади. Равшанки бу қатор яқинлашувчи бўлиб, нолдан 
фарқли йиғиндига эга. Иккинчи томондан 
бундан
Агар 
дэсак, 
 
бўлиб,қатор
кўринишга келади.
 
десак, 
 
бўлиб, қатор эса яна 
]
2
,
0
[

2
)
(
x
x
f

k
k
b
a
a
,
,
0
;
3
8
3
1
1
2
2
0
3
2
0
2
0









x
dx
x
a
)
,....
3
,
2
,
1
(
4
sin
2
2
cos
1
cos
2
sin
n
2
-
cos
1
sin
1
cos
1
2
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2








































n
n
n
nx
n
n
nxdx
n
n
nx
x
n
nxdx
x
nxdx
n
n
nx
x
xdx
n
x
a
n














)
,....
3
,
2
,
1
(
,
4
cos
2
4
1
)
sin
1
sin
(
2
4
1
sin
1
cos
2
cos
1
sin
1
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2













































n
n
nx
n
n
nxdx
n
n
nx
x
n
n
nxdx
x
nxdx
x
n
n
nx
x
nxdx
x
b
n


























1
2
2
sin
cos
4
3
4
n
n
nx
n
nx


0

x




1
2
2
1
4
3
4
n
n

0
)
0
(

f





1
2
2
1
4
3
4
)
0
(
n
n
f



x
2
)
(



f





1
2
2
)
1
(
4
3
4
n
n
n


2

x
2
4
)
2
(



f

---

кўринишда бўлади.