Mavzu: Funksiyalarni hosila yordamida tekshirish va grafigini yasash.

Mavzu: Funksiyalarni hosila yordamida tekshirish va grafigini yasash. (Ekstremum, qavariqlik va botiqlik, asimptotalar.) Lapital qoidasi va misollar.
Faraz qilaylik, funksiya X oraliqda ( ) berilgan bo’lsin. Mahlumki, ixtiyoriy bo’lsa, funksiya X da o’suvchi, ixtiyoriy bo’lsa, funksiya X da kamayuvchi deyiladi.

Monotonlikning zaruriy shartlari:

1. 
   Agar oraliqda differensiallanuvchi funksiya o’suvchi bo’lsa, u holda .
   
2. 
   Agar oraliqda differensiallanuvchi funksiya kamayuvchi bo’lsa, u xolda .
   

Monotonlikning yetarlilik shartlari:

1. 
   Agar da differensiallanuvchi funksiya musbat hosilaga ega bo’lsa, yahni , u holda funksiya shu oralikda o’suvchi funksiya bo’ladi.
   
2. 
   Agar da differensiallanuvchi funksiya manfiy hosilalga ega bo’lsa, yahni , u holda funksiya shu oralikda kamayuvchi funksiya bo’ladi.
   

Funksiyaning birinchi tartibli hosilasi nolga teng yoki hosilasi mavjud bo’lmaydigan nuqtalarni kritik nuktalar deyiladi.

Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo’lsaki, bu atrofning har qanday nuqtasi uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya nuqtada maksimumga (minimumga) erishadi deyiladi. qiymat ning maksimum (minimum) qiymati deb ataladi .

Funksiyaning maksimum va minimumi umumiy nom bilan uning ekstremumi deyiladi.

Ekstremumning zaruriy sharti

funksiya nuqtada chekli hosilaga ega bo’lib, bu nuqtada funksiya ekstremumga erishsa, u xolda

bo’ladi.

Ekstremumning yetarli shartlari

Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo’lsa va o’sha nuqta ixtiyoriy atrofining, balki faqat ning o’zidan boshqa nuqtalarida chekli hosilaga ega bo’lsa va agar x ning qiymati dan o’tganda o’z ishorasini «+» dan «» ga o’zgartirsa, u holda

bo’ladi;

o’z ishorasini «» dan «+» ga o’zgartirsa, u holda

bo’ladi;

o’z ishorasini o’zgartirmasa, u holda funksiya ekstremumga ega bo’lmaydi.

Uchinchi hol ( va bo’lganda) oddiy nuqtada hamda burilish nuqtasida va shuningdek sinish nuqtasida ro’y beradi.

Demak, funksiyaning ekstremumini topish uchun:

1) ni topib, uni nolga aylantiruvchi yoki u mavjud bo’lmagan kritik nuqtalarni topish kerak;

2) har bir kritik nuqtadan chap va o’ng tomonlarida ning ishorasini, masalan, ushbu

		0	+	йo’q		0		- 	
	камаyaди	min	o’сади	max	камаyaди	бурилиsh	камаyaди	бурилиsh	камаyaди

ko’rinishdagi jadval tuzib, aniqlash kerak.

Funksiya ekstremumining yetarli shartlari (tekshirishning ikkinchi usuli).

Agar biror nuqtada:

1) va bo’lsa, u holda bo’ladi;

2) va bo’lsa, u holda bo’ladi.

3) bo’lsa bo’lsa, u holda masala yechilmasdan qoladi va uni yechish uchun birinchi usulga murojaat qilish kerak.

1-misol. funksiyaning monotonlik oraliqlarini va ekstremumlarini toping.

Yechish. Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi – butun Ox o’qi bo’lib, uning hosilasi .

Xosilani nolga tenglashtirsak bo’lib, u kritik nuqta bo’ladi.

Ox o’qini bu nuqta bilan ikkita oraliqqa bo’linadi: va .

Bu oraliqlarda hosilaning ishorasini tekshirib, natijalarni quyidagi jadvalga yozamiz:

		0	+
		min

Demak, funksiyaning hosilasi nuqtada o’ngdan chapga o’tishda o’z ishorasini manfiy ( ) dan musbat (+) ga o’zgartirar ekan. Berilgan funksiyaning o’zi nuqtada uzluksiz. Demak, funksiya nuqtada minimumga erishadi. Uning minimum qiymati

bo’ladi.
Mustaqil bajarish uchuntopshiriqlar