Mavzu: Функция. Функция тушунчаси

Mavzu: Функция.
1.Функция тушунчаси.
2.Функциянинг чегараланганлиги, монотонлиги, жуфт ва тоқлиги, даврийлиги.
3.Тескари функция. Элементар функциялар ва уларнинг хоссалари.
4.Мураккаб функция. Функциянинг графиги.
Функция тушунчаси. Функциялар суперпозицияси


Функция. Тартибланган жуфтлик. Функциялар тенглиги. Бир қийматли функция. Суперпозиция. Функцияларнинг функцияси. Тескари функция.

Функция тушунчасини олдинги параграфларда ўрганилган терминларда аниқлаймиз. Функциянинг графиги тартибланган жуфтликлар тўпламидан иборат. Функция билан унинг графиги ўртасида ҳеч қандай фарқ йўқ. Функция шундай муносабатки, унинг икки хил элементининг биринчи координаталари ҳеч қачон тенг бўлмайди.

Шундай қилиб, муносабати қуйидаги талабларни қаноатлантиргандагина функция бўла олади:
1. нинг элементлари фақатгина тартибланган жуфтликлардан иборат.
2. Агар ва элементлари бўлса, у вақтда .
Мисол: 1. , , фунцкциядир. .
2. , , муносабати функция бўла олмайди, чунки ва элементларининг биринчи координаталари тенг.
3. функциядир, чунки агар бўлса, у вақтда .
4. функция бўла олмайди, чунки унинг элементлари мавжуд.
Агар - функция ва бўлса, яъни бўлса, у вақтда функциянинг аргументи деб айтилади ва ни функциянинг даги қиймати ёки элементининг образи дейилади.
ни белгилаш учун , , ёки символларни ишлатадилар. cимволни деб, яъни элементининг -образлари тўплами деб қараш мумкин.
Икки ва функциялар бир хил элементлардан тузилган бўлса, бундай функциялар тенг бўлади , яъни бошқача қилиб айтганда, ва бўлсагина, бўлади.
Шундай қилиб, функция берилган бўлиши учун аниқланиш соҳаси ва шу соҳанинг ҳар бир элементи учун унинг қиймати берилиши керак.
дан келиб чиқади.
Агар f функциянинг аниқланиш соҳаси бўлса, у вақтда функциянинг ўзгариш соҳаси тўплами ичида бўлади деб айтилади ва қуйидагича белгиланади:
ёки .
Юқорида кўрсатилган ҳамма тўплами тўпламнинг қисм тўплами бўлади ва уни деб белгилаймиз.
Агар бўлса, у вақтда фақатгина бир элементдан иборат бўлади ва у тўпламнинг бўш қисм тўпламидир.
Агар ва бўлса, у вақтда .
Агар дан келиб чиқса, у вақтда f бир қийматли функция дейилади.
Иккита ва функциялар берилган бўлсин. ва функцияларнинг суперпозицияси деб қуйидаги шундай мавжудки, ва тўпламга айтилади ва символи билан белгиланади. Бу тўплам ҳам функция бўлади.
Шундай қилиб, функцияларнинг суперпозицияси қуйидагича бўлади:

Функцияларнинг суперпозицияси функцияларнинг функцияси деб ҳам айтилади.

ва бўлсин, у вақтда функция ва функцияларнинг суперпозициясидир.
Суперпозиция амали ассоциативлик қонунига бўйсунади, яъни
.

Агар ва бўлса, у ҳолда ва бўлади.

Агар бир қийматли функция бўлса, у вақтда дан координаталарини ўрнини алмаштириш натижасида ҳосил бўладиган функцияга функциясига тескари бўлган функция деб айтилади ва cимволи билан белгиланади.
Фақатгина бир қийматли функциялар учун бажариладиган бу амалга қайтариш амали дейилади.
нинг аниқланиш соҳаси

8-§. Тартиблаш муносабати

Тартиблаш муносабати. Антисимметрик муносабат. Қисман тартиблаш муносабати. Иррефлексив муносабат. Чизиқли тартиблаш муносабати. Қисман тартибланган тœплам.
1-таъриф. Агар бирор тўпламдаги ва элементлари учун муносабат ўрнига муносабат ўринли бўлишини кўрсатувчи муносабатга тартиблаш муносабати деб айтилади.
Тартиблаш муносабати ёрдамида элементларни қайтартибда қўйиш масаласини ҳал этиш мумкин. Ҳақиқий сонлар тўплами учун < ,  , > ,  муносабатлари тартиблаш муносабатларига мисол бўла олади. Тўпламлар системаси учун худди шундай ролни   муносабатлар ўйнайди.
2-таъриф. Агар тўпламининг исталган ва элементлари учун бир вақтда ва бажарилишидан келиб чиқса, бундай  муносабат антисимметрик муносабат деб айтилади.
3-таъриф. тўплам ичида рефлексивлик, антисимметрик ва транзитивлик хоссаларига эга бўлган муносабатга тўпламдаги қисман тартиблаш муносабати деб айтилади.
Ҳар қандай рефлексив ва транзитив муносабатга тартиблаш муносабати деб айтилади.
Қисман тартиблаш муносабати  символи билан белгиланади. Агар  муносабати тўпламни қисман тартибласа, у вақтда тўпламнинг исталган ва элементлари учун муносабати бажарилиши ҳам мумкин, бажарилмаслиги ҳам мумкин.
Худди шундай, агар ва бўлса, у вақтда деб ёзилади ва дан кичик деб айтилади.
4-таъриф. тўпламнинг ҳар қандай элементи учун муносабат бажарилмаса, у вақтда тўпламдаги иррефлексив муносабат деб айтилади.
Агар  муносабати тўпламдаги қисман тартиблаш муносабати бўлса, у вақтда < муносабати тўпламидаги иррефлексив ва транзитив муносабат бўлади.
5-таъриф. муносабат қисман тартиблаш муносабати бўлсин. муносабатнинг аниқланиш соҳасига қарашли ҳар қандай икки хил ва элементлари учун ёки ўринли бўлса, бундай муносабатга чизиқли (оддий) тартиблаш муносабати деб айтилади.
Ҳақиқий сонларни қийматига қараб тартиблаш чизиқли тартиблаш муносабатига мисол бўла олади.
6-таъриф. Агар бирор тўпламда қисман тартиблаш муносабати берилган бўлса, бундай тўпламга қисман тартибланган тўплам деб айтилади ва у тартибланган жуфтликдан иборат бўлади.
Агар тўпламда оддий тартиблаш муносабати берилган бўлса, у вақтда оддий тартибланган тўплам деб айтилади ва у ҳам тартибланган жуфтликдан иборат бўлади. Бу ерда  тўпламини оддий (чизиқли) тартиблайди.
Масалан, агар тўпламлар системаси бўлса, у вақтда қисман тартибланган тўплам бўлади.
функцияси тўпламининг  тартиблаш муносабатига ва тўпламининг ¹ тартиблаш муносабатига нисбатан шундагина тартибини сақлайдиган функция бўлади, қачонки дан келиб чиқса, ва тўпламлар ўртасидаги ўзаро бир қийматли бођланиш ва га қисман тартибланган тўпламлар ўртасидаги изоморфизм деб айтилади. Агар шундай бођланиш мавжуд бўлса, у вақтда кўрсатилган қисман тартибланган тўпламлар изоморфдир.
тўпламнинг ҳамма лари учун бўлса, у вақтда тўпламнинг элементи тўпламнинг қисман тартиблаш муносабати  га нисбатан энг кичик элементи деб айтилади. Агар шундай элемент мавжуд бўлса, у ягонадир.
тўпламнинг ҳеч бир элементи учун муносабати бажарилмаса, у вақтда тўпламнинг у элементи шу тўпламнинг қисман тартиблаш  муносабатига нисбатан минимал (энг кичик) элементи деб айтилади. Минимал элемент берилган тўпламда бир нечта бўлиши мумкин.
Агар ҳар қандай учун бўлса, у вақтда тўпламнинг элементи шу тўпламнинг  муносабатига нисбатан энг катта элементи деб айтилади. Агар шундай элемент мавжуд бўлса, у ҳам ягонадир.
тўпламнинг ҳеч бир элементи учун муносабати бажарилмаса, у вақтда тўпламнинг у элементи шу тўпламнинг  муносабатига нисбатан максимал элементи деб айтилади.
Агар тўпламнинг ҳар бир бўш эмас қисм тўплами энг кичик элементга эга бўлса, у вақтда қисман тартибланган тўпламга тўлиқ тартибланган тўплам деб айтамиз. Масалан, {0,1,2,...}.
Агар қисман тартибланган ва бўлсин. У вақтда исталган учун бажарилса, тўпламнинг элементи тўпламнинг юқори чегараси деб айтилади.
Худди шундай, агар исталган учун бажарилса, элементи тўпламнинг қуйи чегараси деб айтилади.
Агар тартибланган тўплам бўлса, у ҳолда унинг қисм тўплами ҳам тартибланган бўлади. Агар бу тартибланган тўплам чизиқли бўлса, у вақтда қисм тўплам тўпламнинг занжири дейилади.
га занжирнинг узунлиги деб айтилади. Бу ерда - чизиқли тартибланган қисм тўпламнинг қуввати. узунликдаги ҳар бир занжир бутун сонли занжирга изоморфдир.
тўпламнинг энг катта элементини билан ва энг кичик элементини билан белгилаймиз.
тартибланган тўплам элементининг баландлиги деб ( тўпламнинг) занжирлар узунлигининг максимумига айтилади. тартибланган тўплам узунлиги деб тўпламдаги занжирлар узунлигининг максимумига айтилади, яъни тартибланган тўпламнинг узунлиги унинг элементлари баландлиги нинг максимумига тенг бўлади.
, .
Тескари функция ва унинг хосиласи.

[а,b] кесмада аникланган усувчи ёки камаювчи у=f(х) функция берилган булсин.

f(a) = с ,
f(b) = d - булсин. f(x) - усувчи булсин. x1,х2 [а,b] да x1Мисол у=х3 , xR лар учун функция усувчи. D(f)=R, E(f)=R.  тескари функция мавжуд ва yR.

Теорема I. (тескари функциянинг узлуксизлиги)
Агар усувчи (камювчи) функция у =f(х) функция [а,b] кесмада узлуксиз булса ва f(a) = с , f(b) == d булса, у холда [c,d] кесмада х = (у) тескари функция мавжуд ва шу кесмада узлуксиз булади.
Теорема 2. (тескари функциянинг дифференциалланувчилиги)
у= f(x) функция x0 нуктанинг бирор атрофида монотон ва узлуксиз булсин, f(x) функция x0 нуктада дифференциалланувчи ва f ‘(x0) 0 бул­са, у холда х = (y) тескари функцияси у0 = f(x0) нуктада дифференциалланувчи булиб, '(y0) = 1/f '(х0) га тенгбулади.
Исботи. y=f(x) функция х0 нуктада узлуксиз, яъни х0 да у0. Тес­кари функциянинг узлуксизлиги хакидаги теоремага кура х=(у) функ­ция хам у0 нуктада узлуксиз, демак у0 да х0. Хосиланинг таърифига кура:

Демак, '(y0)=l/f ‘(x0). Теорема исботланди.

Гиперболик функцинлар. Улариинг хоссалари ва графиклари.
1. Таърифлар. shx, chx, thx, cthx каби белгиланувчи ва ушбу тенгликлар билан аникланувчи функциялар гиперболик функциялар дейилади:
shx = (еx- е-x)/ 2 - гиперболик синус,

chx = (еx + е-x)/ 2 - гиперболик косинус,

thx = shx/ chx -гиперболик тангенс

cthx=chx/shx - гиперболик котангенс.

Функцияларнинг таърифларидан тегишли тригонометрик функциялар орасидаги муносабатларга ухшаш муносабатлар келиб чикади:

ch2x – sh2x= 1 ; ch2x+sh2x = ch2x ;

sh2x = 2shx chx ; ch2x = 1/(1 – th2x) вa х.к.з

shx, chx, thx функциялар х R лар учун аникланган, cthx функция эса х0 лар учун аникланган.

a)shx - ток функция, х>0 да мусбат, х<0 да манфий, х=0 да нолга тенг; б) chx - жуфт функция, барча х лар учун мусбат; в) thx - ток функция, х>0 да мусбат, х<0 да манфий, х=0 да нолга тенг thx < 1;

Гиперболик функцияларни хосиласи.

Shx, Chx, Thx ва Cthx-функцияларнинг хосилаларини хисоблаймиз

Асосий элементар фуикцияларни хосилалари.

1. y=C,C’=0, C-const.

2. у == lnu , (lnu)'= (1/'u)u'

3. у = u , (u)'= u-1  u' , -const

4. у =аu , (аu)'= аu Inau', a=const, a>0 , a1

5. у = uv , (uv)’=vuv-1 u' + +uvlnuv'

6. у =sinu , (sinu)'= cosu u'

7. у=cosu , (cosu)'= (-sinu) u'

8. у =tgu , (tgu)'= l/cos2uu'

9. у =ctgu ,(ctgu)'= (-1 /sin2u)  u'

10. y =arcsinu, (arcsinu)'=(1/ )u' ;

1l. y =arccosu . (arccosu)'== -(1 )u'

12. у =arctgu,(arctgu)'= (1/(l+u2) )u' ;

13. у= arcctgu , (arcctgu)'= (-1/(1+u2)) u'

14. y=logau, (logau)'=(1/ulna)u', a=const, a>0, at

Ошкормас функцняни хоспласи.

F(x,y)=0 , х ва у узгарувчилар орасидаги бог.чаниш F(x,y)=0 формула би-лан берилган булиб, y=f(x) функция (а,b) да аникланиб, F(x,y)=0 тенгламани каноатланирса. уни айниятга айлантирса. F(x,y)=0 га ошкормас функция дейилади.
Мисол: у3-Зху+х=0 , тенглама билан берилган функциянинг у' хосиласини топинг.

3у2.y'-3ху'-3у+3х2=0 ; y'=(y-x2)/(y2-x) булади.

Параметрик функцияни хосиласи.

тенглама билан берилган функция параметрик куринишда берилган функция дейилади. t-параметр дейилади. t-параметрларни ихтиерий кийматига х ва у- узгарувчиларни аник киймати мое келади. х ва у ни кийматларига текисликда М(х,у)- нукта мое келади. М(х,у) нукталар текисликда бирор чиникин аниклайди.

Мисол.

тугри чизикнинг текисликдаги тенгламаси. m ва n - йуналтирувчи векториинг координаталари. параметрик тенгламани куйидагича ёзамиз .

параметрик тенгламани куйидагича ёзамиз . (x-x0)/m==(y-y0i)/n тугри чизикнинг каноник тенгламаси булади. Хосилани хисоблаймиз.

х=(t)-функция тескари функцияга эга, у ни х ни мураккаб функцияси деб хисоблаш мумкин- бунла t-оралик аргумент. yx'=yt'.tx булади, tx'=1/ x't , yx'= yt'.l/x't = yt'/x't булади. Демак:

yx' = yt' / x't

Мисол