Mavzu: Egri chiziqli trapetsiyaning yuzi va integral

Mavzu: Egri chiziqli trapetsiyaning yuzi va integral

80-rasmda tasvirlangan figurani ko’rayllik. Bu figura quyidagi Ox o’qdagi [a; b] kesma bilan, yuqoridan musbat qiymat qabul qiladigan y=ƒ(x) uzluksiz funksiyaning grafigi bilan, yon tomonlardan esa x=a va x=b to’g’ri chiziqlarning kesmalari bilan chegaralangan. Bunday figurani egri chiziqli trapetsiya deyiladi. [a; b] kesmani esa egri chiziqli trapetsiyaning asoslari deyiladi.

Egri chiziqli trapetsiyaning S yuzini ƒ(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi yordamida qanday xisoblash mumkinligini aniqlaymiz.

[a; b] asosli egri chiziqli trapetsiyaning yuzini S(x) deb belgilaymiz (81-rasm), bunda x-[a; b] kesmadagi istalgan nuqta: x=a bo’lganda [a; x] kesma nuqtaga aylanadi, shuning uchun S(a)=o; x=b da S(b)=S.

S(x) ni ƒ(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lishini, ya’ni S’(x)= ƒ(x) ekanini ko’rsatamiz.

S(x+h)-S(x) ayirmani ko’raylik, bunda h> 0(h<0 xol ham xuddi shunday ko’riladi). Bu ayirma asosi [x; x+h] bo’lgan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng (82-rasm). Agar h son kichik bo’lsa, u xolda bu yuz taqriban ƒ(x)*h gat eng, ya’ni S(x+h)-S(x)≈ ƒ(x)*h.

Demak, _≈ ƒ(x)*h→0 da bu taqribiy tenglikning chap qismi xosilaning ta’rifiga ko’ra S’(x) ga intiladi, yaqinlashish xatoligi esa h→0 da istalgancha kichik bo’la boradi.Shuning uchun h→0 da S’(x)= ƒ(x) tenglik xosil bo’ladi. Bu esa S(x) ning ƒ(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi ekanini bildiradi.

Istalgan boshqa F(x) boshlang’ich funksiya S(x) dan o’zgarmas songa farq qiladi, ya’ni

F(x)=S(x)+C.

Bu tenglikdan x=a da F(a) =S(a)+C ni olamiz. S(a)=0 bo’lgani uchun C=F(a) va (1) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

S(x)=F(x)-F(a).

Bunda x=b da S(b)=F(b)-F(a), ni topamiz.

Demak, egri chiziqli trapetsiyaning yuzini (80-rasm) quyidagi formula orqali xisoblash mumkin:

S=F(b)-F(a),

Bunda F(x) – berilgan ƒ(x) funksiyaning istalgan boshlang’ich funksiyasi.

Shunday qilib, egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash ƒ(x) funksiyaning F(x) boshlang’ich funksiyasini topishgam ya’ni ƒ(x) funksiyani integrallashga keltiriladi.

F(b) –F(a) ayirma ƒ(x) funksiyaning [a;b] kesmadagi integrali deyiladi va bunday belgilanadi: _a∫^b ƒ(x)dx= ƒ(x)-F(a).

Formulani differensial va integral xisob asoschilari sharafiga Nyuton- Leybnis formulasi deb ataladi.

Va amaldagi formuladan quyidagini olamiz

S= _a∫^b ƒ(x)dx.

1-masala. 83-rasmda tasvirlangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini toping.
S= _a∫^b ƒ(x)dx. Formuladan S= ₁∫³ x²dx ni topamiz. Bu integralni Nyuton-Leybis formulasi yordamida hisoblaymiz. ƒ (x)=x² funksiyaning boshlang’ich funksiyalaridan biri F(x)=_ funksiyalardir. Shuning uchun S= ₁∫³ x²dx=F(3)-F(1)=_-_= 8_ (kv. Birlik).

(3) va (4) formulalar ƒ(x) funksiya [a; b] kesma ichida musbat, kesmaning biror oxirida yoki ikkala oxirida esa nolga teng bo’lgan xolda xam o’rinlidir.

2-masala. 84-rasmda tasvirlangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini toping.

F(x)=-cosx funksiya ƒ(x)=sinx funksiya uchun boshlang’ich funksiyadir. (3),(4) formulalardan quyidagini xosil qilamiz:

S=₀∫^π sinxdx F(π)-F(0)= (-cos π)—cos0)=1+1=2 (kv. Birlik).