Mavzu: Diriexli masalasini Rits metodi bilan yechish

2.1. Dirixle masalasini Rits metodi bilan yechish
(1.35) va (1.36) Dirixle masalasini sohada yechish uchun shunday erkli funksiyalar sistemasini (bazis funksiyalarni)

tuzamizki, ular quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

U holda ixtiyoriy o’zgarmas sonlar uchun ushbu
(1.37)
chiziqli kombinatsiya joiz funksiyalar sinfiga kiradi. Endi (1.37) ifodani (1.36) integralga qo’yib, quyidagiga ega bo’lamiz:
(1.38)
Biz larni shunday tanlab olamizki, (1.38) integral minimumga aylansin. Buning uchun minimumning zaruriy shartlari bajarilishi kerak:
(1.39)
Ushbu


belgilashni kiritib, (1.39) sistemani quyidagi ko’rinishda yozib
(1.40)
olamiz:
Bu chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechib, koeffitsiyentlarni aniqlaymiz. Shu koeffitsiyentlar bilan olingan funksiya Dirixle masalasining taqribiy yechimi bo’ladi. Bu yechimning aniqligi bazis funksiyalarning tanlanishiga va ularning soniga bog’liq.


Misol. sohada
, (1.41)
Dirixle masalasi yechilsin.
Yechish. Bu yerda chegara to’g’ri chiziqlar bo’lganligi uchun bazis funksiyalarni quyidagicha tanlaymiz:

va chiziqli kombinatsiyani ushbu
(1.42)
ko’rinishda olamiz. Ravshanki, ixtiyoriy uchun funksiya (1.41) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Hisoblashlar ko’rsatadiki, (1.40) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi quyidagidan iborat:

Bu sistemaning yechimi , , .
Bu qiymatlarni (1.42) ga qo’yib, berilgan masalaning taqribiy yechimini topamiz:
.
Xulosa
Xususiy hosilali differensial tenglamalar fan va texnikaning turli sohalarida, xususan, bunday tenglamalar ko‘plab fizik jarayonlarni tadqiq qilishda uchraydi, masalan tebranishlar nazariyasida, qattiq jismlar dinamikasida va shunga o‘xshash. Ammo ularning yechimini oshkor ko’rinishda chekli formula shaklida kamdan-kam hollarda topish mumkin. Shu munosabat bilan matematik fizika masalalari deb ataluvchi har xil xususiy hosilali differensial tenglamalarni, xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasi va integral tenglamalarni taqribiy yechish metodlari muhim ahamiyatga egadir.
Ushbu kurs ishida xususiy hosilali differensial tenglamalarni taqribiy yechish bo’yicha Dirixle masalasini Rits metodida yechish. Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, Rits metodi variatsion masalani taqribiy yechishga mo’ljallangan. Rits metodining asosiy kamchiligi shundaki, u faqat operatori simmetrik va musbat bo’lgan tenglamalarga qo’llaniladi. Bu metod hech qanday variatsion masala bilan bog’liq emas, shuning uchun ham u batamom universal metod hisoblanadi. Bu metodni elliptik, parabolik va giperbolik tenglamalarga, xatto ular variasion masala bilan bog’liq bo’lmasa ham, katta muvaffaqiyat bilan qo’llash mumkin. Taqribiy yechimning koeffitsiyentlarini aniqlaydigan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bir xil bo’ladi. Bundan tashqari xususiy hosilali differensial teglamalarning xos son va xos funksiyasini topish masalalari ko’rib chiqildi. Misollar yordamida bu metodlar mustahkamlandi.