Mavzu: Diriexli masalasini Rits metodi bilan yechish

1.2. Rits metodi bilan eng sodda chegaraviy masalani yechish

Faraz qilaylik, bizga o’z-o’ziga qo’shma differensial tenglama
(1.7)
va eng sodda chegaraviy shartlar
(1.8)
berilgan bo’lsin, bunda , , , funksiyalar da uzluksiz bo’lib, , . (1.7), (1.8) chegaraviy masala (1.8) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan funksiyalar to’plamida quyidagi
(1.9)
funksional uchun variatsion masalaga teng kuchlidir.
Rits metodini qo’llash uchun shunday

chiziqdi erkli funksiyalar sistemasi (bazis funksiyalar)ni olamizki, , bo’lib, qolganlari bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin: .
Variatsion masalaning yechimini quyidagi chiziqli kombinatsiya
(1.10)
shaklida izlaymiz, bunda — o’zgarmas sonlar. Ko’rinib turibdiki, chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi:
.
Endi (5.4) ni (5.3) funksionalga qo’yamiz:
(1.11)
Bu ifodadan ga nisbatan xususiy hosila olib, quyidagi sistemani hosil qidamiz:

yoki

yoxud

bu yerda
, (1.12)
(1.13)
.
Ko’rinib turibdiki,
(1.14)
matritsa simmetrik matritsadir. Endi (1.11) sistemani yechib, ga minimum beradigan funksiyani (1.10) ko’rinishda yozamiz. Shuni ta’kidlash kerakki, yechimning aniqligi ko’pincha bazis funksiyaning tanlanishiga bog’liq,.
Misol. Quyidagi
, (1.15)
chegaraviy masala Rits metodi bilan yechilsin.
Yechish . Chegaraviy shartlar bir jinsli bo’lganligi uchun deb olsak, deb olib, , ni olamiz. (1.14) chegaraviy masalani (1.7) masala bilan solishtirib ko’rsak, , , . Shuning uchun ham
, , .
Hisoblashlar ko’rsatadiki,
.
(1.11) sistema quyidagi ko’rinishga ega:
, .
Bu sistemaning yechimi esa , .
Demak,
.
O’rniga qo’yib tekshirib ko’rish mumkinki, aniq yechim
.
Misol tariqasida aniq yechim bilan taqribiy yechimning qiymatlarini nuqtada solishtirib ko’rsak, ; .