Mavzu: differensial va integral tenglamalarni yechish differensiallash komandasi

diff(, [, ,...,]);

Bu komandalar ning , ,..., bo’yicha xususiy hosilasini hisoblaydi. Ifodaning yuqori tartibli hosilasini hisoblash uchun $ amali qo’llaniladi.

Misol.

t ifodadan x bo’yicha 4- tartibli xususiy hosila oladigan komanda ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

> diff(t,x$3);

> f:=x^2*sin(x)+sqrt(y)*ln(cos(x));

> diff(f,x$2,y);

> g:=Diff(f,y$2);

> g1:=sqrt(g);

> value(g1);

HOSILANI XISOBLASH.

HOSILALAR JADVALI
1. bo‘lganda,

2. hosilasi:

3. .

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

MAPLE DA HOSILANI HISOBLOVCHI IKKITI KOMANDA MAVJUD:

1. 
   To’g’ridan to’g’ri bajariluvchi diff(f,x) komandasi bo’lib, bu yerda f – funksiya x-o’zgaruvchiga nisbatan differensiallanuvchi funksiya.
   
2. 
   Diff(f,x)- komandasi esa xosilaning ko’rinishidagi matematik talqinini xosil qiladi. Hosila xisoblangach uni iloji boricha soddalashtirish kerak bo’ladi bening uchun simplify factor yoki expand komandalaridan foydalanamiz.
   

Misol:

> Diff(sin(x^2),x)=diff(sin(x^2),x);

Yuqori tartibli xosilalarni xisoblan uchun x$n parametrni kiritamiz, bu yerda n – xosilaning tartibi; misol:

> Diff(cos(2*x)^2,x$4)=diff(cos(2*x)^2,x$4);

Olingan natijani ikki xil usul bilan soddalashtirish mumkin:

> simplify(%);

> combine(%);

DIFFERENSIAL OPERATOR.

Differensial operatorni aniqlash uchun D(f)komandasi ishlatiladi – f-funksiya.

Misol:

> D(sin);

cos

Nuqtada xosilani xisoblash:

> D(sin)(Pi):eval(%);

-1

Differensiallash operatori funksional operatorlarga xam qo’llaniladi

> f:=x-> ln(x^2)+exp(3*x):

> D(f);

> f:=x-> ln(x^2)+exp(3*x):

> D(f);

Differensiallash komandasining aktiv va passiv ko’rinishini qo’llash:

> Diff(sin(2*x)^3-cos(2*x)^3,x)=

diff(sin(2*x)^3-cos(2*x)^3,x);

> diff((x),x);// x ning hosilasi:

> diff(exp(x),x);//e^x ning hosilasi:

> diff(sin(x),x);// sin(x) ning hosilasi:

> diff(tan(x),x);// tg(x) ning hosilasi:

> diff(sqrt(x^2),x);

> diff(x*sin(cos(x)),x);

> diff(sin(x),x$3);

> diff(3*x^3+2*x^2+23*x+2342,x$2);

> diff(sin(x),y);

> diff(x^2+x*y^2,x);

> diff(2*x+y^2,y);

> diff(x^2+x*y^2,x,y);

> h := 5*x^2+2*x^2*y+3*x*y^2+12*y*x+3*y^3/x;

> diff(h,x,y);

> diff(h,y,x);

> diff(h,y$3);

> Diff(tan(x),x);

> Diff(tan(x),x) = diff(tan(x),x);

> diff(f(x),x);

> diff(f(x,y),x,y);

> diff(f(x,y),x,y) - diff(f(x,y),y,x);

2. INTEGRALLASH KOMANDASI
Ifodalarning ma’lum o’zgaruvchiga nisbatan aniqmas integralini topishni int (, ); komandasi bajaradi. Aniq integralni esa int(, =a..b); ko’rinishdagi komanda hisoblaydi, bu yerda a va b lar integrallash chegaralari bo’lib, analitik ko’rinishdagi ifoda bo’lishi ham mumkin.

1. 
   
   

> Int( x^n, x )=int( x^n, x );

2. 
   
   

> Int( 1/x, x )=int( 1/x, x );

3. 
   ;
   

> Int( a^x, x )=int( a^x, x );

> Int( exp(x), x )=int( exp(x), x );

4. 
   
   

> Int( sin(x), x )=int(sin(x), x );

5. 
   
   

> Int( cos(x), x )=int(cos(x), x );

6. 
   
   

> Int( tan(x), x )=int(tan(x), x );

7. 
   
   

> Int( cot(x), x )=int(cot(x), x );

8. 
   
   

> Int( 1/cos(x)^2, x )=int(1/cos(x)^2, x );

9. 
   
   

> Int(1/sin(x)^2, x )=int(1/sin(x)^2, x );

10. 
    
    
11. 
    
    

> Int( 1/sqrt(a^2-x^2), x )=int( 1/sqrt(a^2-x^2), x );

12. 
    
    
13. 
    
    

> Int( 1/(a^2+x^2), x )=int( 1/(a^2+x^2), x );

14. 
    
    

> Int( 1/(a^2-x^2), x )=int( 1/(a^2-x^2), x );

15. 
    
    

> Int(1/sqrt(x^2+a^2), x)=int(1/sqrt(x^2+a^2),x);

> Int(1/sqrt(x^2-a^2), x)=int(1/sqrt(x^2-a^2),x);

16. 
    ,
    

> Int( 1/sin(x),x)=int(1/sin(x),x);

17. 
    
    

> Int( 1/cos(x),x)=int(1/cos(x),x);

18.

> Int( diff(f(x),x)/f(x),x)=int( diff(f(x),x)/f(x),x);

19.

> Int(diff(f(x),x)/sqrt(f(x)),x)= int(diff(f(x),x)/sqrt(f(x)),x);
1-misol. ni toping,

Yechish:



+С.

Bu yerda dan ham foydalanildi.

> Int((x-1)/(x+1)+exp(x)-sin(x)+x/sqrt(x^2+1),x)=

int((x-1)/(x+1)+exp(x)-sin(x)+x/sqrt(x^2+1),x);

Maple dasturida har xil funktsiyalarni integralni topishda integral ostidagi funktsiyani o’zgartirish kifoya qiladi.

Yuqoridagi misolni funktsiyadan foydalanib integralni topishni ko’ramiz:

> restart;

> f:=x->(x-1)/(x+1)+exp(x)-sin(x)+x/sqrt(x^2+1);



> Int(f(x),x)=int(f(x),x);

Ushbu misolni hisoblanish ketma-ketliginin Maple dasturining Tutor-o’qituvchi muloqat oynasida quyidagi dastur yordamida bajariladi:

> restart;

> with(Student[Calculus1]):

IntTutor((x-1)/(x+1)+exp(x)-sin(x)+x/sqrt(x^2+1), x);

2-misol. ko‘phadni integrallang.

Yechish: .

Demak, n–darajali ko‘phadning aniqmas integrali n+1–darajali ko‘phaddan iborat bo‘lar ekan.

> Int(a(i)*x^(n-i),x)=int(a(i)*x^(n-i),x);



3-misol.

.

> Int(x^2-2*x+3,x)=int(x^2-2*x+3,x);



4-misol.

1) intrgralni toping,

Yechish.



=

> Int(cot(x)^3,x)=int(cot(x)^3, x );



2) intrgralni toping,

> int( sin(m*x)*cos(n*x), x );



> int( sin(2*x)*cos(3*x), x );



3) intrgralni toping,
> int( sin(m*x+n)*cos(p*x+q), x );



> int( sin(2*x-1)*cos(3*x+5), x );



ANIQ VA ANIQMAS INTEGRALLASH.

Anikmas integralni xisoblash ikki xil komanda orkali bajariladi:

1. 
   komandaning aktiv holati – int(f, x),bu yerda f –integrallanuvchi funksiya;
   
2. 
   komandaning passiv xolati – Int(f, x) . Int komandasi formulaning matematik talkinini ekranda xosil kiladi..
   

Anik integralni xisoblash uchun int va Int komandalarga kushimcha integrallash chegaralari kiritiladi. Masalan :

> Int((1+cos(x))^2, x=0..Pi)=

int((1+cos(x))^2, x=0..Pi);

Agar integrallash komandasiga continuous opsiyasini kiritsak int(f, x, continuous), u xolda Maple integrallash sohasining barcha uzilishlaridagi integralni ham xisoblash imkonini beradi. Agar int komandasining parametrlarida, x=0..+infinity chegara kiritilsa, chegaralari cheksiz bulgan xosmas integralni xisoblaydi.

Sonli integral, evalf(int(f, x=x1..x2), e) komanda orqali aniqlanadi, bu yerda e – xisoblash aniqligi.

PARAMETRLARGA BOGLIQ INTEGRALLAR. PARAMETRLAR UCHUN CHEGARALAR.

Agar parametrga bog’liq integaral hisoblansa uning qiymati o’sha parametrga yoki biror bir shartga bog’liq bo’ladi.

Misol sifatida. integralini qaraymiz.

Bizga matematik analiz kursidan ma’lumki, a>0 bo’lganda bu integral yakinlashuvchi va a<0 bo’lganda esa uzoqlashuvchi bo’ladi. Agar integralni birdan hisoblasak, u xolda:

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=

int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

Definite integration: Can't determine if the integral is convergent.

Need to know the sign of --> a

Will now try indefinite integration and then take limits.

.

Natijaga ega bo’lamiz.

Bu usul bilan parametrga bog’liq integral hisoblanmaydi. Integralni xisoblashda oshkor analitik natijani olish uchun parametrlar haqida qandaydir faraz qilish kerak, ya’ni ularga qo’shimcha shartlar qo’yiladi, buni assume(expr1) komandasi orqali amalga oshirish mumkin, bu yerda expr1 – tengsizlik. Qo’shimcha shartlar additionally(expr2) komanda yordamida kiritiladi, bu expr2 – ikkinchi tengsizlik.

Parametrga shartlar qo’yilgandan so’ng Maple uning oldiga (~) simvolini o’rnatadi, masalan a parametrga biror shart qo’yilgan bo’lsa,u a~ ko’rinishini oladi.

a parametrga qo’yilgan shartlarni about(a) komandasi orqali chaqirish mumkin.

Misol: a parametrga a>-1, a3 shartlarni qo’yamiz:

> assume(a>-1); additionally(a<=3);

> about(a);

Originally a, renamed a~:

is assumed to be: RealRange(Open(-1),3)

Yuqoridagi integralni hisoblashga qaytamiz. :

> assume(a>0);

>Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=int(exp(-*x),x=0..+infinity);


INTEGRALLASHNI ASOSIY USULLARI.

Maple da student paketi mavjud bo’lib, u matematikani o’qitishga mo’ljallangan va u bir qancha programmalar yordamida qadamma qadam hisoblanadigan murakkab misollarni yechishda qo’l keladi. Bunday komandalarga bulaklab integrallash komandasi inparts va o’zgaruvchini almashtirish komandasi changevar kiradi.

Bo’laklab integrallash formulasi:

f=u(x)v’(x) integral osti funksiyasi ko’rinishda bo’lsa, u holda bo’laklab integrallash komandasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

intparts(Int(f, x), u),

Agar integrallashda x=g(t) yoki t=h(x) almashtirish talab etilsa, u holda integrallash komandasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

changevar(h(x)=t, Int(f, x), t),

bunda t  yangi o’zgaruvchi.

intparts va changevar buyruqlari integralni qiymatini oxirigacha hisoblamaydi. Shuning uchun bu buyruqlarning natijasini hisoblash uchun buyruqdan keyin

value(%);

buyruqni ishlatish lozim.

Bu buyruqlardan foydalanish uchun albatta

with(student)

yordamida student paketiga murojat qilish lozim.