Mavzu: differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar

Birinchi tartibli chiziqli tenglamalar. Bernulli tenglamasi.


(1)
Tenglamaga chiziqli tenglama deyiladi, bu yerda p(x) va q(x) oraliqda uzluksiz funksiyalar. (1) tenglamaning ikkala tomonini oralig‘ida integrallovchi ko‘paytuvchi ga ko‘paytirsak ni hosil qilamiz.Hosil bo‘lgan sodda differensial tenglamani integrallab chiziqli tenglamaning umumiy yechimi topish formulasini keltirib chiqaramiz:

(13) differensial tenglamaning Koshi formasidagi yechimi

formula orqali aniqlanadi.
1- misol.
Integrallovchi ko‘paytuvchi, ga berilgan tenglamani ko‘paytiramiz:

Ikkala tomonini integrallasak

bu yerdan umumiy yechim hosil bo‘ladi.
2-misol.
Bu tenglama x=x(y) ga nisbatan chiziqli tenglama bo‘ladi.

tenglamani ga ko‘paytirsak oddiy tenglama hosil qilamiz, bu yerdan

(2)
tenglamaga Bernulli tenglamasi deyiladi. Bu tenglama almashtirish yordamida chiziqli tenglamaga keltiriladi.
3-misol. . Bernulli tenglamasini standart shaklga yozamiz

almashtirish qo‘llaymiz

Bu yerda chiziqlali tenglamani hosil qilamiz. Yechimi va demak, Bernulli tenglamasining umumiy yechimi

Bundan tashqari y=0 yechimi bo‘ladi. Bu yechim maxsus yechimdir