Mavzu: differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar

O’zgaruvchilari ajralgan va unga keltiriladigan differensial tenglamalar


(11)
Tenglamaga o‘zgaruvchilai ajralgan tenglama deyiladi. Bu yerda M(x), N(y) mos ravishda oraliqlarda aniqlangan uzluksiz funksiyalardir. (11) tenglamaning umumiy integrali

Bu yerda ixtiyoriy qiymatlar.
Agar maxsusmas nuqta bo‘lsa (11) tenglamaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi bo‘ladi va u oshkormas shaklda

tenglama bilan aniqlanadi.
O‘zgaruvchilari ajralgan tenglamalarning ko‘rinishi quyidagicha:
(12)

Bu yerda M₁, M₂ va N₁, N₂ funksiyalar mos ravishda [a,b] va [c,d] oraliqlarda aniqlangan. M₂ va N₁ funksiyalar va to‘plamlarda nolga aylansin.

M₂(x)N₁(y)≠0 sohada (12) tenglama M₂(x)N₁(y) ga bo‘lish natijasida o‘zgaruvchilari ajralgan tenglamaga keladi. U vaqtda (12) tenglamaning shu sohada umumiy integrali quyidagicha topiladi:
_.
Agar bo‘lsa, (1) - tenglama o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo‘ladi.
1- misol
O‘zgaruvchilarni ajratamiz

sohada integrallab, umumiy yechimni hosil qilamiz.
ham yechimdir.
Ko‘rsatma. Agar 1 - misolining umumiy yechimida deb olsak, umumiy yechimni soddaroq holda yozish mumkin:

Bundan
Agar bo‘lsa, u holda y = 0 va demak, javobni quyidagicha yozish mumkin:

2-misol.
O‘zgaruvchilarni ajratamiz:

Umumiy yechim

Koshi masalasini yechish uchun berilgan boshlang‘ich qiymatlarni tenglamaga qo‘yamiz va parametr c ning qiymatini topamiz: c = 1. Demak Koshi masalasining umumiy yechimi:



3- misol.