Мавзу: Дифференциал тенгламаларни қаторлар ёрдамида ечиш, бессель тенгламаси

Мавзу: Дифференциал тенгламаларни қаторлар ёрдамида ечиш, бессель тенгламаси
Р Е Ж А

1. 
   Голоморф функция. Даражали қатор.
   
2. 
   Тенгламани қаторлар ёрдамида ечиш усули.
   
3. 
   Бесселp тенгламаси.
   

Дифференциал тенгламаларни қаторлар ёрдамида ечиш учун баoзи тушунчаларни киритамиз.

f(x) функция x₀ нуқтада голоморф дейилади, агар x₀ нуқтани бирор |x-x₀|< атрофида даражали қаторга ёйиш мумкин бўлса.
x₀ нуқта оддий нуқта дейилади, агар тенгламани коэффициентлари шу нуқтада голоморф бўлса, акс ҳолда x₀ нуқта махсус нуқта дейилади.
Бизга
(1)
тенглама берилган бўлсин. Бунда p(x) ва q(x) функциялар x=x₀ нуқтада голоморф бўлсин, яoни

ёки x₀=0 бўлса,
. (2)
(2)ни (1)га қўямиз.
(3)
(3)нинг ечимини
(4)
кўринишда қидирамиз. (4)ни (3) га қўямиз

ёки йиғиндини бир хил кўринишга келтириб,

тенгликка эга бўламиз, бу ерда

формуладан фойдаланиб, қуйидаги тенгликни оламиз.

ни олдидаги коэффициентларни нолга тенглаб,

формулани ҳосил қиламиз.
k=0,1,2,… қийматлари учун

Бу системадан c_k коэффициентларни топамиз. Демак, 2-тартибли тенгламанинг ечимини ихтиёрий бошланғич шарт ва унинг ҳосиласи ёрдамида кўриш мумкин. Бу усулни номаoлум коэффициентлар усули дейилади.
Бесселp тенгламасини ўзгармас коэффициентга келтириладиган тенгламалар синфида қаралган эди, яoни
(5)
ёки
бўлиб x=0 нуқта махсус нуқта бўлади.
(5)нинг ечимини
(6)
умумлашган даражали қатор кўринишида қидирамиз.
(6)ни (5)га қўямиз

Бу ифодани га қисқартирамиз ва соддалаштирамиз

x^k ни мос тартиби олдидаги коэффициентларни нолга тенглаймиз
(7)
илдиз учун, (7)дан

ёки
(8)
Шундай қилиб, c₁=0 ва барча k лар учун c_2k+1=0
(8)дан k=1,2,… қийматлар учун c₂,c₄,c₆,…,c_2k коэффициентларни топамиз.
Бу қийматлари (6)га қўйиб ва =n деб,

Бесселp тенгламасининг ечимини ифодалаймиз. Худди шундай = -n учун ҳам ечимни кўриш мумкин .
Бунда c₀ коэффициентни кўринишда олиб, гамма функция хоссаларидан фойдаланиб Бесселp тенгламасининг хусусий ечимини

топамиз.
Худди шундай =-n учун

иккинчи хусусий ечимни олиб, Бесселp тенгламасининг умумий ечимини

кўринишда, 0<x<, |y|<, соҳа учун ҳосил қиламиз.
ТЕКШИРИШ УЧУН САВОЛЛАР:

1. 
   Голоморф функцияга таъриф беринг.
   
2. 
   Тенгламани қаторлар ёрдамида ечиш усулининг моҳияти нимадан иборат?
   
3. 
   Бессел тенгламасининг кўриниш қандай бўлади?
   
4. 
   Нима учун Бессел тенгламаси ечимини умумлашган даражали қатор кўринишида изланади?
   
5. 
   Агар n бутун сон бўлса, Бессел тенгламасининг ечимлари y, w ва у₂(х) лар чизиқли боғланмаган (эркли) бўлади-ми?
   
6. 
   Бу ҳолда (n бутун сон бўлганда) у(х) ни тотпгандан сўнг, у₂(х) ни қандай топилади?
   
7. 
   Алгебраик тенгламалар системаси хосил қилинганда нима учун С₀ ни нолдан фарқлим деб олинади?
   
8. 
   Бессел тенгламасининг махсус нуқтасини аниқлаб беринг?
   
9. 
   Нима учун Бессел тенгламасида
   

деб танланган?
10.n – тартибли 1 тур Бессел функциясининг кўринишини ёзиб
беринг.

ТАЯНЧ ИБОРАЛАР.

Голоморфлик тушунчаси. Даражали қатор. Бесселp тенгламаси.
АДАБИЁТЛАР.
1.М.С.Салохитдинов, Г.Н.Насриддинов . Оддий дифференциал тенгламалар. Т. Ўқитувчи.1992й.
2. Матвеев Н.М. Методқ интегрирования обекновенных дифференциальных уравнений. Весшая школа. 1967г.