2+ ε, … am – ε < xm < am+ ε} bo’ladi.
Bundan esa n > n0 lar uchun
bo’lishi kelib chiqadi.
Demak ε >0 olinganda ham shunday n0 є N topiladiki, barch n > n0 lar uchun. │x1(n) - a│< ε , │x2(n) - a│< ε …. │xm(n) - a│< ε bo’ladi
bu esa
ekanligini bildiradi.
Shunday qilib {xn} ketma-ketlik limitga ega va uning limiti a bo’lsa uning koordinatlaridan tuzilgan {x1(n)}, {x2(n)}, … {xm(n)} ketma-ketlik ham limitga ega va ular mos ravishda a ning koordinatlariga teng.
Demak
Endi fazoda {x(n)} ketma-ketlikning koordinatlaridan tashkil topgan {x1(n)}, {x2(n)}, … {xm(n)} sonlar ketma-ketligi limitdga ega va u a nuqtaning mos koordinatlariga teng bo’lsin
Yani
U xolda limit ta’rifiga ko’ra ε >0 son olinganda ham
ga ko’ra shunday
n0(1) є N topiladiki n > n0(1) lar uchun│x1(n)–a1│< n0(2)єN topiladiki
n > n0(2) lar uchun │x2(n) – a2│< bo’ladi.
Agar n0= max {n0(1), n0(2), … n0(m)} deb olsak unda barcha n>n0 uchun bir yo’la │xi(n) – ai│< tengsizliklar bajariladi. U holda
bo’lib, undan (xn , a) bo’lishi kelib chiqadi.Bu esa ekanligini bildiradi. Demak
Yuqoridagi (3) va (4) munosabatlardan
ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib quyidagi teoremaga kelamiz:
Teorema 1. fazoda {x(n) }={x1(n)x2(n)… xm(n) } ketma -ketlikning a = (a1,
a2,… am) є ga intilishi x(n) → a (n→ da) uchun n da bir yo’la
bo’lishi zarur va eytarli.
Bu teorema fazoda ketma-ketlikning limitini o’rganishni sonli ketma-ketlikning
limitini o’rganishga keltirilishini ifodalaydi. Bayon etilgan teorema hamda sonlar ketma-ketligining hossalaridan fazoda yaqinlashuvchi ketma-ketlikning quyidagi xossalari kelib chiqadi.
fazoda {x(n)} ketma-ketlik berilgan bo’lsin.
10.Agar {x(n)} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, uning limiti yagonadir.
Agar {x(n)} ketma-ketlikning barcha hadlaridan tuzilgan to’plam chegaralangan bo’lsa, {x(n)} ketma-ketlik chegaralangan ketma-ketlik deyiladi.
Teorema. fazoda {x(n)} ketma-ketlik chegaralangan bo’lishi uchun uning koordinatalaridan tuzilgan {x1(n)}, {x2(n)}, …sonlar ketma-ketligining har biri chegaralangan bo’lishi zarur va yetarlidur.
20. Agar {x(n)} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, u chegaralangan bo’ladi. Chegaralangan ketma-ketliklar limitga ega bo’lishi ham bo’lmasligi ham mo’mkin
Masalan 1. {(-1)n+1, (-1)n+1} ketma-ketlik chegaralangan limitga ega emas
2. {(,n,n)} ketma-ketlik chegaralanmagan
30. Agar {x(n)}ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lib, uning limiti a bo’lsa u holda
{α x(n)} ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti αa ga teng bo’ladi.
40. {x(n)} va {y(n)} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib ularning limiti a va b
bo’lsa
{x(n)±y(n)} ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti a ± b ga teng bo’ladi:
50. Agar a nuqta M to’lamning limit nuqtasi bo’lsa M dan a ga intiluvchi
{x(n)} ketma-ketlik ajratish mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: