Mavzu: Chiziqsiz tenglamalar sistemasini taqribiy yechish

SURAYYO

Mavzu: Chiziqsiz tenglamalar sistemasini taqribiy yechish.
REJA

1. 
   Kirish .
   
2. 
   ASOSIY QISM
   

1. 
   Oddiy iteratsiya metodi.
   
2. 
   Nyuton metodi .
   
3. 
   O‘zgartirilgan Nyuton metodi .
   
4. 
   Interpolyasiya metodi .
   
5. 
   Teskari inerpolyasiya metodi .
   
6. 
   Oddiy interpolitsiya metodining yaqinlashishi.
   

3. 
   XULOSA.
   
4. 
   FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO`YXATI.
   

1. 
   Kirish.
   

Haqiqiy o‘zgaruvchili uzluksiz f(x) funksiya berilgan bo‘lsin.
f(x)=0 (1)
tenglamaning ildizlari yoki y =f(x) funksiyaning nollarini topish talab qilingan bo‘lsin. Algebraik ko‘pxadlar holida tenglamaning, ildizlari kompleks bo‘lishini bilamiz. SHuning uchun masalani yana ham aniqroq qo‘yish lozim. (1) - tenglamaning kompleks tekislikning biror-bir sohasidagi ildizlarini toping degan masala qo‘yish, yana ham aniqrok bo‘ladi. Masalani echish ikki bosqichdan iboratdir. Birinchi bosqichda ildizlarning joylashish sohasi aniqlanadi va ular ajratiladi, ya’ni har birida birta ildizni o‘z ichida saqlovchi sohalar aniqlanadi. Bundan tashqari yana karrali ildizlar va ularning karrali soni aniqlanadi. SHuning bilan birga ildizlarga biror-bir boshlag‘ich yaqinlashish topiladi. Ikkinchi bosqichda boshlang‘ich berilganlardan foydalanib qidirilayotgan ildizni aniqlashtiruvchi iteratsion jarayon tanlanib uning yordamida ildizga etarlicha yaqin son topiladi.
Ixtiyoriy tenglamaning ildizlari joylashgan sohani aniqlaydigan biror - bir yaxshi metod yo‘q.
Algebraik tenglamalar ildizlarining joylashishini aniqlovchi usullar ancha yaxshi o‘rganilgan va bu metodlarning bir qanchasi algebra kursidan sizga ma’lum.
CHiziqlimas tenglamalarni echish metodlari asosan iteratsion bo‘lib, ular qidirilayotgan echimga (ildizga) etarlicha yaqin bo‘lgan boshlang‘ich berilganning ma’lumligini (berilishini) talab qiladilar.
Iteratsion metodlarni o‘rganishga o‘tishdan odin (1)-tenglama ildizlarini ajratishning ikkita sodda metodi bilan tanishamiz.
Birinchi metod: f(x) funksiyaning x_{k[a,b], k=0,1,…,n,} nuqtalardagi f(x_k) qiymatlari topiladi. Agar k-ning biror-bir qiymatida f(x_k)f(x_k+1)<0 bo‘lsa, unda tenglamaning (x_k,x_k+1) intervalda tenglamaning eng kamida birta ildizi mavjudligi ma’lum bo‘ladi. Undan so‘ng bu oraliq yana ham kichikroq bo‘laklarga ajratilib ildizlarning joylashishlari aniqlashtiriladi.
Haqiqiy ildizlarni ajratishning ancha sodda usullaridan biri biseksiya metodidir. Faraz qilamiz [a,b] oraliqda birta x_* ildiz joylashgan bo‘lsin. f(a)>0 , f(b)<0 bo‘lsin. deb, f(x₀) - ni hisoblaymiz. Agar f(x₀)<0 bo‘lsa, ildiz (a,x₀), oraliqda agar f(x₀)>0 bo‘lsa ildiz (x₀,b) da joylashgan bo‘ladi. Bundan so‘ng ikki intervaldan f(x) chegaralarida turli ishorali qiymatlarni qabul qiladigan intervalni qaraymiz. Bu interval o‘rtasi x₁ - ni topamiz. f(x₁) - ni hisoblab yuqoridagi jarayonni takrorlaymiz. Natijada o‘zlarida x_* ildizni saqlovchi, uzunliklari har gal ikki barobar qisqaradigan intervallarni hosil qilamiz. Jarayon intervalning uzunligi >0 dan kichik bo‘lgandan so‘ng to‘xtatiladi va x_* ildizning taqribiy qiymati qilib shu oxirgi intervalning o‘rtasi olinadi. Agar (a,b) intervalda bir qancha ildiz bo‘lsa, ularning qaysisiga yaqinlashishini bilmaymiz.
Agar x_* ildiz m- karrali bo‘lsa va topilgan bo‘lsa unda boshqa ildizni topish

funksiya uchun qaytariladi.
ASOSIY QISM: 1)Oddiy iteratsiya metodi.
Bu metod (1)- tenglamani ekvivalent bo‘lgan
x=S(x) (2)
tenglamaga almashtirilib iteratsiyalar
x_k+1=S(x_k), k=0,1,… (3)
qoida bilan tashkil qilinadilar. Bunda x₀ boshlang‘ich yaqinlashish beriladi. Iteratsion ketma-ketlikning yaqinlashishi uchun S(x) funksiya katta rol o‘ynaydi. Bu funksiyani turli usullar bilan aniqlash mumkin.
Odatda bu funksiya
_{S(x)=x+(x)f(x)} (4)
ko‘rinishda aniqlanadi, bunda (x) ildiz qidirilayotgan sohada o‘z ishorasini o‘zgartirmaydigan funksiya. Bu metodning bo‘lganda yaqinlashishni keyinroq ko‘rsatamiz. Xususiy holda (x)==const bo‘lganda
(5)
relaksatsiya metodi deb aytiladi.
Optimal  parametrni tanlash uchun relaksatsiya tenglamasida
z_k = x_k - x_*
almashirish bajarib
= f(x_*+z_k)
xatolik tenglamasini hosil qilamiz.
O‘rta qiymat haqidagi teoremaga asosan
f (x_*+z_k) = f (x_*) + z_kf (x_*+z_k) = z_kf (x_*+z_k)
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu erda (0,1). SHunday qilib relaksatsiya metodining xatoligi uchun
= f(x_*+z_k)z_k
tenglikka ega bo‘lamiz.
Bundan

tengsizlik hosil bo‘ladi.
Agar ildizning biror bir atrofida
(6)
munosabatlar bajarilsa

tengsizlikka ega bo‘lamiz.
SHunday qilib optimal parametrni aniqlash

funksiyaning  bo‘yicha minimumini topishga olib kelindi. q() funksiyaning grafigidan uning minimumi

shartdan aniqlanishi lozim ekanligi kelib chiqadi va

bo‘ladi. - ning bu qiymatida

bo‘ladi.
SHu sababli xatolik uchun

baho o‘rinlidir.

2)Nyuton metodi.

Faraz qilamiz boshlang‘ich yaqinlashish x₀ ma’lum bo‘lsin. f(x) funksiyani Teylor qatorining kesmasi bilan almashtiramiz.
f(x) H₁(x) = f(x₀) +f (x₀)(x-x₀)
va keyingi yaqinlashish sifatida H₁(x) = 0 tenglama ildizini olamiz, ya’ni

qilib olamiz.
Umuman, agar x_k yaqinlashish ma’lum bo‘lsa, Nyuton metodi bo‘yicha x_{k+1 yaqinlashishi}
(7)
kabi aniqlanadi.
Nyuton metodi, boshqacha yana urinmalar metodi ham deb aytiladi, chunki x_k+1 nuqta f(x) funksiya grafigining (x_k,f(x_k)) nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning abssissa o‘qi bilan kesishgan nuqtasining abssissasidir. Bu metodning yaqinlashishi keyinroq ko‘rsatiladi. Hozir bu metodning o‘ziga xos xususiyatlarini bayon etamiz.
Birinchidan metod kvadratik yaqinlashishga ega, ya’ni keyingi qadamdagi yaqilashish xatoligi oldingi qadamdagi xatolikning kvadratiga proporsional:
x_k+1 - x_* = O((x_k - x_*)²).
Ikkinchidan metodning bunday yaqinlashishiga, boshlang‘ich yaqinlashishning ildizga etarlicha yaqin bo‘lgandagina kafolat bersa bo‘ladi. Agar boshlang‘ich yaqinlashish noqulay tanlangan bo‘lsa, metod yo sekin yaqinlashadi, yo umuman yaqinlashmasligi mumkin.


3)O‘zgartirilgan Nyuton metodi.
Agar f(x) hosilaning qiymatini ko‘p marta hisoblashdan qutilmoqchi bo‘lsalar, unda
(8)
formuladan foydalanadilar.
Bu metod boshlang‘ich yaqinlashishga uncha ko‘p talab qo‘ymaydi, lekin u sekin, faqat birinchi tartibli yaqinlashadi. (10) – metod bo‘lganda nolga bo‘lish sodir bo‘lmasligiga kafolat beradi.

4)Kesuvchilar metodi

Bu metod Nyuton metodidan f '(x_k) ni

chekli ayirma bilan almashtirishdan hosil bo‘ladi.
Natijada
(9)
ikki qadamli iteratsion metod hosil bo‘ladi. (9) - metodda oldin ikkita boshlang‘ich x₀ , x₁ yaqinlashishlarni berishga to‘g‘ri keladi. Bu metodning geometrik talqini quyidagidan iborat: (x_k-1,x_k) oraliqda y=f(x) funksiya grafigi (x_k-1 , f(x_k-1)) va (x_k, f(x_k)) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bilan almashtirilib uning abssissa o‘qi bilan kesishgan nuqtasi keyingi yaqinlashish sifatida olinadi.

4)Interpolyasiya metodi.

Interpolyasiya metodlarining asosiy g‘oyasi f(x) funksiyani bu funksiyaning interpolyasion ko‘phadi bilan almashtirib bu interpolyasion ko‘phad ildizlarini aniqlashdan iborat. Birinchi tartibli interpolyasion metod, bu kesuvchilar metodidan iborat. Ikkinchi tartibli interpolyasion metod parabolalar metodi deb aytiladi. Nyuton metodi ermit interpolyasion metodidan kelib chiqadi.
Parabolalar metodining formulalarini keltirib chiqaramiz. Buning uchun x_k-2,x_k-1,x_k yaqinlashishlarni aniqlab Nyutonning ikkinchi tartibli interpolyasion

P₂(x)=f(x)+(x-x_k)f(x_k,x_k-1)+(x-x_k)(x-x_k-1)f(x_k,x_k-1,x_k-2),

ko‘phadini quramiz. z_k = x-x_k deb belgilab
az²+bz+c=0, (10)
bu erda

a=f(x_k,x_k-1,x_k-2), b=f(x_k,x_k-1)+(x_k-x_k-1)f(x_k,x_k-1,x_k-2), c=f(x_k)

tenglamani hosil qilamiz. (10)- tenglamani z₁ va z₂ ildizlarini topib x⁽¹⁾=x_k+z₁ , x⁽²⁾=x_k+z₂ qiymatlarini hosil qilamiz. Keyingi yaqinlashish sifatida x⁽¹⁾ , x⁽²⁾ lardan x_k ga yaqin bo‘lganini olamiz. Parabola metodi kompleks ildizlarni topish uchun qulaydir.

5)Teskari interpolyasiyadan foydalanish

f(x) ga teskari bo‘lgan x=(y) funksiyani interpolyasiyalash bilan bir qancha iteratsion metodlarni hosil qilish mumkin.

Agar x_* , f(x)=0 tenglamaning ildizi bo‘lsa , (0) =x_* bo‘ladi. SHunday kilib x_* ildizni topish (0) qiymatni topishga olib kelinadi. Faraz qilamiz x_* ildizga x₀,x₁,...,x_k yaqinlashishlar ma’lum bo‘lsinlar. Unda y_i = f(x_i) , i=0,1,...,k qiymatlarni hisoblash mumkin va y₀ ,y₁ ,...,y_k tugun nuqtalar (qiymatlar) berilgan deb hisoblash mumkin.
Ulardan x₀=(y₀),x₁=(y₁) ,..., x_k=(y_k) ma’lum bo‘ladi. (y_i,(y_i)), i=0,1,2,...,k nuqtalar bilan L_k(y) interpolyasion ko‘pxad quriladi va x_k+1 yaqinlashish sifatida L_k(0) olinadi. CHiziqli teskari interpolyasiya (k=1) kesuvchilar metodiga olib keladi. (k=2) kvadratik teskari interpolyasiya

parabola metodidan farq qiluvchi metodga olib keladi. YUqorida bayon qilingan iteratsion metodlar berilgan boshlang‘ich yaqinlashishlarda faqat birta ildizni topishga imkon beradilar. Boshqa ildizlarni topish uchun boshqa boshlang‘ich berilganlar tanlash lozim.

6)Oddiy iteratsiya metodining yaqinlashishi.

f(x)=0 (1)
tenglamani ekvivalent
x=S(x) (2)
ko‘rinishda yozamiz va x₀ dastlabki yaqinlashishni tanlab olib
x_k+1=S(x_k), k=0,1,… (3)
oddiy iteratsiyani qaraymiz. (3)-iteratsiya yaqinlashadi deb aytiladi, agar {x_k} ketma-ketlik k, limitga ega bo‘lsa. Quyidagi teoremada (2)-tenglamaning echimi mavjudligi va yagonaligiga kafolat beruvchi shartlar bayon qilinadi.
Agar to‘plamning ixtiyoriy x , x nuqtalari uchun
(4)
tengsizlik bajarilsa S(x) funksiya to‘plamda Lipщits shartini qanoatlantirdi deb aytiladi (yoki lipщits uzluksiz). Kelajakda x lar to‘plami sifatida
U_r(a) = (5)
markazi a- da bo‘lgan uzunligi 2r ga teng kesma qaraladi.


Teorema. Agar S(x) U_r(a) kesmada q(0,1) o‘zgarmasli lipщits uzluksiz bo‘lib,
(6)
bajarilsa, unda (2)- tenglama U_r(a) da yagona x_* echimga ega bo‘lib, (3)-iteratsion ketma-ketlik ixtiyoriy x₀U_r(a) uchun x_* ga yaqinlashadi.
Xatolik uchun
(7)
(tengsizlik) baho o‘rinli bo‘ladi.


Isbot. Eng avval x_kU_r(a) k=1,2,.. ekanligini isbot qilamiz. Faraz qilamiz x_jU_r(a) bo‘lsin, x_j+1U_r(a) ekanligini isbot qilamiz.

tenglikdan

ekanligi ma’lum bo‘ladi.
Bundan lipщits - uzluksizlikni, induksiya farazini va (6)- ni inobatga olib

ya’ni x_j+1U_r(a) ekanligini hosil qilamiz.
Endi ikki qo‘shni x_j+1 va x_j yaqinlashishlar orasidagi farqni baholaymiz.

va barcha x_j lar U_r(a) dan bo‘lganligi uchun

yoki
(8)

tengsizlik hosil bo‘ladi.
(8)- baho {x_k} ketma-ketlikni fundamental ekanligini ko‘rsatishga imkon beradi. Haqiqatdan ham p ixtieriy natural son bo‘lsin.
Unda

(8)- ga asosan

ya’ni
(9)

bu tengsizlikdan k , o‘ng tomoni nolga intiladigan bo‘lganligi uchun va p- ga bog‘liq bo‘lmaganligi uchun {x_k} ning fundamentalligi kelib chiqadi.

Demak

(3)- da limitga o‘tib va S(x) funksiyaning uzluksizligini hisobga olib
x_*=S(x_*)
ekanligiga, ya’ni x_* ildiz ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Faraz qilamiz x_* (2)- ning U_r(a)- ga tegishli boshqa biror bir ildizi bo‘lsin. Unda
|x_*-x_*'|=|S(x_*)-S(x_*')|
va teoremaning shartiga ko‘ra
|x_*-x_*'| q|x_*-x_*'|.
Bunda q<1 bo‘lganligi uchun, oxirgi tengsizlik x_* = x_*' bo‘lgandagina bajariladi, ya’ni echim birdan-bir ekanligi kelib chiqadi.
(7)- tengsizlikni isbot qilamiz.
(3)- munosabatdan
x_k+1 - x_* = S(x_k) - S(x_*)
x_k va x_*U_r(a)
bo‘lganligi uchun
|x_k+1-x_*| q|x_k-x_*|
hosil bo‘ladi. Bu tengsizlik barcha k=0,1,2,... uchun bajariladi.
SHuning uchun

1-Izoh. Agar biror bir iteratsion metod uchun bajarilsa, bunda qM₁ k-ga bog‘liqmas bo‘lsa, unda iteratsion metod chiziqli q maxrajli geometrik progressiya tezligida yaqinlashadi deb aytiladi.

2-Izoh. (9) - da k- ni tanlab olib p- ni cheksizga intiltiramiz,
unda

hosil bo‘ladi. Bu tengsizlikning o‘ng tomonida x₁ va x₀ yaqinlashishlar turadi, q-ma’lum son. SHu sababli bu tengsizlikdan iteratsiya jarayonini to‘xtatish uchun foydalanish qulaydir.
1-Natija: Agar barchaxU_r(a) uchun
(12)
bajarilib, (6) -shart o‘rinli bo‘lsa va x₀U_r(a) bo‘lsa, (2)- tenglama birdan bir x_*U_r(a) echimga ega, (3)- metod yaqinlashadi va (7)- baho o‘rinlidir.
Haqiqatdan ham ,(12)-dan

2- Natija. Faraz qilamiz (2)- tenglama x_*- echimga ega bo‘lsin, S(x) funksiya
U_r(x_*) = {x : |x-x_*| r} (13)
kesmada uzluksiz differensiallanuvchi va |S'(x_*)|<1 bo‘lsin. Unda shunday > 0 mavjudki U_r(x_*) kesmada (2)- tenglama boshqa ildizga ega bo‘lmaydi va faqat x₀U_r(x_*) bo‘lganda (3)- metod yaqinlashadi.

8)Nyuton metodining yaqinlashishi.

Oddiy haqiqiy ildiz. Faraz qilamiz
f(x)=0 (1)
tenglama oddiy haqiqiy x_* ildizga ega bo‘lsin, f(x_*)=0 va f'(x_*) 0
bo‘lsin. Faraz qilamiz f(x) funksiya x_* ildizning etarlicha yaqin atrofida ikki marta uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin.
(2)
Nyuton metodini tadqiq etamiz. Eng avval (2)- ni oddiy iteratsiya metodining xususiy holi sifatida qaraymiz:
(3)
(4)
Oldin, biz (3)- metodning yaqinlashishi uchun ildizning etarlicha yaqin atrofida
(5)
tengsizlikning bajarilishi etarli ekanligini ko‘rsatgan edik.
(4)- funksiya uchun

munosabat o‘rinli.
Agar x_*, f(x) ning ildizi bo‘lsa, unda S(x_*)=0 bo‘ladi. SHu sababli ildizning shunday atrofi borki (5) - tengsizlik bajariladi. Demak x₀ boshlang‘ich yaqinlashishni shunday tanlab olish mumkinki Nyuton metodi yaqinlashadi. Bu yaqinlashish oddiy yaqinlashish bo‘lmasdan u aslida kvadratik yaqinlashishdir.
Quyidagi teorema Nyuton metodining kvadratik yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatadi.
1-teorema. Faraz qilamiz x_* (1)-tenglamaning oddiy haqiqiy ildizi bo‘lib
U_r(x_*)={x : |x-x_*|atrofda bo‘lsin. Faraz qilamiz f(x) , U_r(x_*) atrofda uzluksiz va
(6)
bo‘lib ,
(7)
bo‘lsin. Unda agar x₀U_r(x_*) bo‘lsa, (2)- Nyuton metodi yaqinlashadi va xatolik uchun
(8)
baho o‘rinli , bunda

3. 
   XULOSA.
   

Nochiziqli tenglamalarni 2 sinfga bo'lish mumkin - algebraik va transsendental. Algebraik tenglamalar faqat algebraik funksiyalarni (butun, ratsional, irratsional) o'z ichiga olgan tenglamalar deyiladi. Xususan, polinom butun algebraik funktsiyadir. Boshqa funktsiyalarni (trigonometrik, eksponensial, logarifmik va boshqalar) o'z ichiga olgan tenglamalar deyiladi. transsendent.
Nochiziqli tenglamalarni yechish usullari ikki guruhga bo'linadi:
aniq usullar;
iterativ usullar.
Aniq usullar ildizlarni qandaydir chekli munosabat (formula) shaklida yozishga imkon bering. Maktab algebrasi kursidan bunday usullar trigonometrik, logarifmik, ko'rsatkichli, shuningdek, eng oddiy algebraik tenglamalarni yechish uchun ma'lum.
Ma'lumki, ko'pgina tenglamalar va tenglamalar tizimlarining analitik yechimlari mavjud emas. Avvalo, bu ko'pchilik transsendental tenglamalarga tegishli. Bundan tashqari, to'rtinchi darajadan yuqori bo'lgan ixtiyoriy algebraik tenglamani yechish mumkin bo'lgan formulani qurish mumkin emasligi isbotlangan. Bundan tashqari, ba'zi hollarda tenglama faqat taxminan ma'lum bo'lgan koeffitsientlarni o'z ichiga oladi va shuning uchun tenglamaning ildizlarini aniq aniqlash muammosining o'zi o'z ma'nosini yo'qotadi. 

3. 
   FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO`YXATI.
   

1.A.A. Samarskiy , A.V. Gulin , CHislennыe metodы . Uk.Kul ., M., Nauka ., 1989
2.M.I. Israilov ., Hisoblash metodlari , Toshkent , ´qituvchi ., 1988 .
3.Fadeev D.K.,Sominskiy I.S.Sbornik zadach po visshey algebre. M.Nauka .1976
4. Gelfand I.M. Lektsii po lineynoy algebre. http://www.mcmee.ru, http://lib.mexmat. ru.

Tayanch iboralar :

• 
  Ildiz (echim) .
  
• 
  Oraliqni teng ikkiga bo‘lish .
  
• 
  Ildizlarni ajratish .
  
• 
  Ildizga ketma-ket yaqnlashish .
  
• 
  Taqribiy ildizning xatoligi .
  
• 
  Yaqinlashish tezligi .
  
• 
  Interpolyasion metod .