Mavzu: chiziqsiz programmalashtirish masalasi va uning geometrik talqini

Misol. cheklanishlarni hisobga olgan holda ni maksimalllashtiring. Optimal qidiruv (1;0.5) nuqtadan boshlanada.

Ye ch i sh. =(1; 0.5) nuqta mavjud sohaning ichida yotadi va f( )=1.75. Keyingi х nuqtaga ko‘chish yo‘nalishi sifatida gradientning yo‘nalishini olamiz. nuqtadagi gradient ga teng. Bundan kelib chiqqan holda, navbatdagi nuqtaning koordinatalarini quyidagicha yozib olish mumkin:

х nuqta mavjud sohaga tegishli bo‘ladigan o‘zgaruvchining barcha qiymatlar oralig‘ini topamiz. Bu holda (5.4) tengsizliklar tizimining ko‘rinishi quyidagicha:

Bu tizimni yechish natijasida oraliq topiladi. ni yechib, ekanligini aniqlaymiz, ushbu qiymatda funksiya eng katta qiymatga erishadi. Lekin, qiymat oraliqqa tegishli emas. Shuning uchun deb olamiz.

Yangi х =(1,36; 0,95) nuqta ikkinchi cheklanish tengsizligi ( qiymat to‘g‘ri keluvchi tengsizlik) bilan aniqlanuvchi chegaraviy to‘gri chiziqda yotadi. х nuqtada funksiyaning qiymati f(х )=11,98>f(x )=8.75. х nuqta chegaraviy to‘g‘ri chiziqda yotgani uchun, keyingi nuqtaga o‘tish yo‘nalishini vektor bo‘yicha aniqlaymiz (gradient bo‘yicha harakat mavjud sohadan chiqib ketishga olib keladi). vektorni aniqlash uchun yordamchi (5.5)-(5.6) masalasini yozib olamiz: cheklanishlarni va ni hisobga olib ni maksimallashtiring.
Berilgan masalaning tenglamalar tizimi ikkita yechimga ega: (0.5568; -0,8352) va (-0,5568; 0,8352). Bu yechimlarni funksiyaga qo‘yib, funksiyaning maksimal qiymatiga (-0,5568; 0,8352) da erishilishining guvohi bo‘lamiz, ya'ni x₁ nuqtadan =(-0,5568; 0,8352) bo‘ylab, ikkinchi chegaraviy to‘g‘ri chiziq orqali ko‘chish kerak. Keyingi nuqtaning koordinatalari . o‘zgaruvchining mavjud qiymatlar oralig‘ini yana aniqlaymiz, unda qiymat mavjud sohaga tegishli bo‘ladi. qanaotlantirishi kerak bo‘lgan cheklanishlar tizimiga ikkinchi cheklanish kirmaydi, chunki bu nuqta ushbu cheklanish bilan aniqlangan chegaraviy to‘g‘ri chiziqda yotadi. Berilgan tizimni yechib oralig‘ni topamiz:
.

5.4 rasm
Ekstremumning zaruriy sharti

dan foydalanib, =2,2 ekanligini aniqlaymiz. Lekin =2.2 oraliqqa tegishli emas, shuning uchun deb olamiz. Yangi nuqta cheklanishlar tizimining birinchi va ikkinchi tengsizligiga mos keluvchi ikkita chegaraviy to‘g‘ri chiziqlarning kesishmasida yotadi. Bu nuqtada funksiya f(х )=12,68>f(x )=11,98>f(x )=8.75 х nuqtadan ko‘chish yo‘nalishi vektorni topamiz; cheklanishlarni hisobga olib =0 ni maksimallashtiring .
Masalaning tenglamalar tizimi r =(0;0) yechimga ega. Olingan natijani T funksiyaga qo‘yib, maksimum T=0 ni hosil qilamiz, bu degani х maqsad funksiyasining mavjud sohadagi maksimum nuqtasidir, ya'ni max f(x )=12.68. 5.4 rasmdan ko‘rinib turganidek f(x) ning chizig‘i mavjud sohaning chegaralariga х nuqtada urinadi.