Mavzu: Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral tushunchalari

Mavzu: Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral tushunchalari

Reja:

• Boshlang’ich funksiya tushunchasi.

2. Funksiyaning aniqmas integrali.

3. Aniqmas integralning asosiy xossalari.

4. Asosiy aniqmas integrallar jadvali.

Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral. Differensial hisob bobida berilgan y=F(x) funksiya sining F′(x)=f(x) hosilasini topish masalasi bilan shug‘ullangan edik. Ammo bir qator savollarga javob izlashda teskari, ya’ni y=F(x) funksiyani uning ma’lum bo‘lgan F′(x)=f(x) hosilasi bo‘yicha topish masalasiga duch kelamiz. Masalan, moddiy nuqtaning harakat tenglamasi S=S(t) berilgan bo‘lsa, unda t0 vaqtgacha bosib o‘tilgan masofa S0=S(t0) kabi aniqlanadi.Ammo harakat tenglamasi S=S(t) noma’lum bo‘lib, uning hosilasi S′(t)=v(t), ya’ni oniy tezlik berilgan holda S0=S(t0) masofani qanday topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu kabi masalalar integral tushunchasiga olib keladi va uni o‘rganishga kirishamiz.

• Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral. Differensial hisob bobida berilgan y=F(x) funksiya sining F′(x)=f(x) hosilasini topish masalasi bilan shug‘ullangan edik. Ammo bir qator savollarga javob izlashda teskari, ya’ni y=F(x) funksiyani uning ma’lum bo‘lgan F′(x)=f(x) hosilasi bo‘yicha topish masalasiga duch kelamiz. Masalan, moddiy nuqtaning harakat tenglamasi S=S(t) berilgan bo‘lsa, unda t0 vaqtgacha bosib o‘tilgan masofa S0=S(t0) kabi aniqlanadi.Ammo harakat tenglamasi S=S(t) noma’lum bo‘lib, uning hosilasi S′(t)=v(t), ya’ni oniy tezlik berilgan holda S0=S(t0) masofani qanday topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu kabi masalalar integral tushunchasiga olib keladi va uni o‘rganishga kirishamiz.

1-eslatma. f(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi F(x) (agar u mavjud bo’lsa) uzluksiz funksiya bo’ladi. Haqiqatan. Boshlang’ich funksiyaning ta‘rifiga binoan F´(х) hosila mavjud va F´(х)=f(х). Differensiallanuvchi funksiyaning uzluksizligidan F(х) ning uzluksizligi kelib chiqadi. Endi F(х) funksiya f(х) ning istalgan boshlang’ich funksiyasi bo’lganda uning qolgan barcha boshlang’ich funksiyalari F(х)+С ko’rinishga ega bo’lishni ko’rsatamiz. Bundan keyin С orqali ixtiyoriy o’zgarmas belgilanad

• 1-eslatma. f(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi F(x) (agar u mavjud bo’lsa) uzluksiz funksiya bo’ladi. Haqiqatan. Boshlang’ich funksiyaning ta‘rifiga binoan F´(х) hosila mavjud va F´(х)=f(х). Differensiallanuvchi funksiyaning uzluksizligidan F(х) ning uzluksizligi kelib chiqadi. Endi F(х) funksiya f(х) ning istalgan boshlang’ich funksiyasi bo’lganda uning qolgan barcha boshlang’ich funksiyalari F(х)+С ko’rinishga ega bo’lishni ko’rsatamiz. Bundan keyin С orqali ixtiyoriy o’zgarmas belgilanad

2. Funksiyaning aniqmas integrali 2-ta‘rif. Agar F(х) funksiya f (х) ning boshlang’ich funksiyalaridan biri bo’lsa, u holda F(х)+С ifoda f(х) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va  f (х)dx kabi belgilanadi.

• 2. Funksiyaning aniqmas integrali 2-ta‘rif. Agar F(х) funksiya f (х) ning boshlang’ich funksiyalaridan biri bo’lsa, u holda F(х)+С ifoda f(х) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va  f (х)dx kabi belgilanadi.
• Bunda  –integral belgisi, f(х)-integral ostidagi funksiya, f (х)dx –integral ostidagi ifoda, x- integrallash o’zgaruvchisi deyiladi. Demak, ta‘rifga binoan F´(х)=f (х) bo’lganda  f (х)dx=F(x)+C tenglik o’rinli bo’lar ekan.

LEMMA: Agar y=Q(х) funksiya biror (a,b) oraliqda differensiallanuvchi va bu oraliqning har bir nuqtasida uning hosilasi Q′(x)=0 bo‘lsa, unda bu funksiya (a,b) oraliqda o‘zgarmas, ya’ni Q(x)=C (C - const) bo‘ladi. Isbot: Qaralayotgan (a,b) oraliqdan ixtiyoriy ikkita x1 va x2 (x1≠x2) nuqtalarni olamiz. Unda y=Q(х) funksiya olingan [x1, x2] kesmada Lagranj teoremasining (VII bob,§3) barcha shartlarini qanoatlantiradi va shu sababli Q(x2)–Q(x1)=Q′()(x2–х1 ) , x1<< x2 , tenglik o‘rinli bo‘ladi. Lemma sharti bo‘yicha (a,b) oraliqning barcha nuqtalarida Q′(x)=0 bo‘lgani uchun  nuqtada ham Q′()=0 bo‘ladi. Bu yerdan, oldingi tenglikka asosan, Q(x2)–Q(x1)=0, ya’ni Q(x2)=Q(x1) tenglikka ega bolamiz. Bu esa Q(x)=C ekanligini ifodalaydi. Lemma isbot bo‘ldi. Endi quyidagi teoremani qaraymiz.

• LEMMA: Agar y=Q(х) funksiya biror (a,b) oraliqda differensiallanuvchi va bu oraliqning har bir nuqtasida uning hosilasi Q′(x)=0 bo‘lsa, unda bu funksiya (a,b) oraliqda o‘zgarmas, ya’ni Q(x)=C (C - const) bo‘ladi. Isbot: Qaralayotgan (a,b) oraliqdan ixtiyoriy ikkita x1 va x2 (x1≠x2) nuqtalarni olamiz. Unda y=Q(х) funksiya olingan [x1, x2] kesmada Lagranj teoremasining (VII bob,§3) barcha shartlarini qanoatlantiradi va shu sababli Q(x2)–Q(x1)=Q′()(x2–х1 ) , x1<< x2 , tenglik o‘rinli bo‘ladi. Lemma sharti bo‘yicha (a,b) oraliqning barcha nuqtalarida Q′(x)=0 bo‘lgani uchun  nuqtada ham Q′()=0 bo‘ladi. Bu yerdan, oldingi tenglikka asosan, Q(x2)–Q(x1)=0, ya’ni Q(x2)=Q(x1) tenglikka ega bolamiz. Bu esa Q(x)=C ekanligini ifodalaydi. Lemma isbot bo‘ldi. Endi quyidagi teoremani qaraymiz.