Mavzu: Bir o`zgaruvchili uzluksiz funksiya

Bir tomonlama uzluksizlik. Bir o`zgaruvchili funksiyaning uzilish nuqtalari.

<sup>Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya argumentning x ≤ x</sup>0 <sup>(x ≥ x</sup>0<sup>)</sup> qiymatlarida aniqlangan bo`lsin.

^{Agar lim f (x)  f (x}0 ⁾
xx ₀  0
^{( lim f (x)  f (x}0 ^{) )}
xx ₀  0

^{munosabat bajarilsa, f (x) funksiya x}0 ^{nuqtada chapdan (o`ngdan) uzluksiz}
deyiladi.

_ 1
Masalan, ^{f (x)  2 x , x  0,}


^0, x  0,


funksiya 0 nuqtada chapdan uzluksiz, chunki,

limf (x) 
x0
1


lim2 ^x x0

 0  f (0) .

y = f (x) funksiya [a; b] kesmaning har bir ichki nuqtasida uzluksiz bo`lib, a nuqtada o`ngdan va b nuqtada chapdan uzluksiz bo`lgandagina [a; b] kesmada uzluksiz bo`ladi.
^{Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x</sup>0 <sup>nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo`lsin. Funksiyaning x}0 ^{nuqtaning o`zida aniqlangan bo`li-
shi shart emas. Agar f (x) funksiya x}0 ^{nuqtada uzluksiz bo`lmasa, funksiya x</sup>0 <sup>nuqtada uzilgan yoki x</sup>0 <sup>nuqta uning uzilish nuqtasi deyiladi.
y = f (x) funksiyaning x</sup>0 <sup>nuqtada chapdan va o`ngdan limitlari mavjud} bo`lib, o`zaro teng bo`lmasa, ya`ni

lim f (x)  f (x₀  0)  f (x₀  0) 
xx ₀ 0
lim f (x)
xx ₀ 0

^{u holda x} 0 ^{nuqta funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.}

1
Masalan, f (x)  ^{1
funksiya x}0 ^{= 0 nuqtada birinchi tur uzilishga ega,}

1  2 ^x

chunki ^{limf (x) 1  0 }
x0
limf (x)
x0
(2 – rasm).

^{Agar x}0 <sup>nuqtada funksiyaning chapdan va o`ngdan limitlari f (x</sup>0 <sup>– 0) va f (x</sup>0 <sup>+ 0) lar o`zaro teng bo`lib, funksiyaning x</sup>0 <sup>nuqtada erisha-digan qiymati f (x</sup>0<sup>) dan farq qilsa, unda x</sup>0 <sup>nuqta uzliksizlikni tiklash mumk in</sup> bo`lgan uzilish nuqtasi deb ataladi (3 – rasm).
^{y = f (x) funksiyaning x}0 ^{nuqtada chapdan yoki o`ngdan limitlarining biri mavjud bo`lmasa (xususan, cheksiz bo`lsa), u holda x}0 ^{nuqta funksiyaning} ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

x

2-rasm. 3-rasm.

Masalan,
f (+0) =∞.

1

f (x)  2 ^{x funksiya x}0 ^{= 0 da ikkinchi tur uzilishga ega, chunki}

Bir necha o`zgaruvchili funksiyalar uzilish nuqtalaridan tashqari, uzilish chiziqlari, sirtlari va hokazolarga ega bo`lishlari mumkin.

Bir o`zgaruvchili funksiya hosilasi va differensiali

Hosila haqida tushuncha. Funksiya differensiali
Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo`lsin.
f (x) funksiyaning x nuqtadagi birinchi tartibli hosilasi deb, shu nuqtada funksiya orttirmasi Δy = Δf (x) ning argument orttirmasi Δx ga nisbatining, Δx

^{nolga intilgandagi chekli limitiga aytiladi va f (x), y, y}x^, ifodalarning biri orqali yoziladi.
df (x) _, dy
^dx dx

Ta`rifga ko`ra, f '(x)  lim ^y _ lim ^{f (x  x)  f (x)} _.
^x0 x ^x0 x


Agar f (x) funksiya x nuqtada uzluksiz bo`lib, lim <sup>y</sup> <sub> </sub> (yoki - ∞)
<sup>x0</sup> x
bo`lsa, u holda f (x) funksiya x nuqtada cheksiz hosilaga ega de-yiladi va
f (x) = ∞ (yoki - ∞) shaklda yoziladi.
Chekli yoki cheksizligidan qat`i nazar,

f '_ (x)  ^lim

x0
f (x  x)  f (x)
x
va ^{f ' (x)  lim}
x0
f (x  x)  f (x)
x

limitlarga, mos ravishda, f (x) funksiyaning x nuqtada chapdan va o`ngdan hosilalari deyiladi.
<sup>f (x) funksiyaning x nuqtada bir tomonlama, chapdan</sup> f '<sub></sub> (x) <sup>va o`ngdan</sup> f '_ (x) ^{hosilalari mavjud bo`lib, o`zaro teng bo`lgandagina, funksiya x nuqtada hosilaga ega bo`ladi va} f '(x)  f '_ (x)  f '_ (x) ^.

Berilgan f (x) funksiyaning hosilasi
differensiallash deb ataladi.
f '(x) ni topish amaliga funk-siyani

Masalan: 1) y = x³ funksiya har qanday haqiqiy x da chekli hosilaga ega, chunki

y'(x)  ^lim
x0
(x  x)³  x³
x
 lim
x0
3x ²x  3x(x)²  (x)³ _
x

^{lim [3x2  3xx  (x)2 ]  3x2} .
x0
Shunday qilib, (x³) = 3x² (x є R).

2. 
   y  funksiya x = 0 nuqtada cheksiz hosilaga ega:
   

y'(0)  lim ^{3 0  x  0} _ lim ^{1  .
x0} x ^x0

2. 
   y = | x | funksiya esa x = 0 nuqtada har ikki bir tomonlama hosilalari
   




y' (0)  lim ^{ex  1  1;} y' (0)  lim ^{ex  1  1} mavjud bo`lishiga
<sup>x0</sup> x <sup>x0</sup> x
<sup>qaramasdan, hosilaga ega emas, chunki</sup> y'<sub></sub> (0) ≠ y'<sub></sub> (0).
Erkli o`zgaruvchi yoki argument x ning differensiali deb, uning

orttirmasi Δx ga aytiladi va dx orqali belgilanadi, ya`ni dx = Δx.
Agar y = f (x) funksiyaning x nuqtadagi Δy = f (x + Δx) - f (x) orttirmasi, Δy = A(x)dx + α(dx) ko`rinishda tasvirlansa, bu yerda A(x) – o`zgaruvchi, dx → 0 da α(dx) = 0(dx), u holda f (x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.
Masalan, y = x<sup>3</sup> funksiya ixtiyoriy x nuqtada differensiallanuvchi, chunki Δy = (x + Δx)<sup>3</sup> - x<sup>3</sup> = 3x<sup>2</sup>dx + 3x(Δx)<sup>2</sup> + (Δx)<sup>3</sup> = 3x<sup>2</sup> Δx + α(dx).
y = f (x) funksiyaning x nuqtadagi birinchi tartibli differensiali deb, shu nuqtada funksiya orttirmasi Δy ning dx ga nisbatan bosh chiziqli qismi A(x)dx ga aytiladi va dy yoki df (x) yozuv bilan belgilanadi. Ta`rifga binoan, dy = A(x)dx va Δy = dy + α(dx).
Agar f (x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda funksiya shu nuqtada uzluksizdir. Funksiyaning nuqtada uzluksizligi uning differensiallanuvchanligining zaruriy sharti hisoblanadi, ammo yetarli emas. Masalan, yuqoridagi misolimizda, y = | x | funksiya x = 0 nuqtada uzluksiz bo`lgani bilan differensiallanuvchi emas.
y = f (x) funksiyaning x nuqtada chekli f (x) hosilasining mavjudligi, f (x) funksiya shu nuqtada differensiallanuvchanligining yetarli shartidir. Ushbu holda, A(x) = f (x) va dy = f (x)dx tengliklar o`rinli.
Masalan, y = x<sup>3</sup> funksiyaning ixtiyoriy x є R nuqtadagi differensiali dy =(x<sup>3</sup>) dx = 3x<sup>2</sup> dx.
Agar Δy = dy + 0(Δx) tenglikda Δx yetarlicha kichik bo`lsa, taq-ribiy hisoblarda qo`llaniladigan Δy ≈ dy yoki f (x + Δx) ≈ f (x) + f (x)dx formulalarni olamiz.


Masalan, taqribiy hisoblash formulasini qo`llab, ni hisoblash talab etilsin. y  funksiya uchun taqribiy hisoblash formulasi

  ¹³ x² x 3

ko`rinishda yoziladi. Natijada,

_{ }  ¹³ 125² (1)  5  ¹
3 75
 4 ^{74 .}
75

Agar f (x) funksiya biror-bir (a; b) oraliqning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo`lsa, shu oraliqda differensiallanuvchi funksiya deyiladi. Bundan tashqari, agarda f (x) ushbu oraliqda uzluksiz bo`lsa, u holda funksiya oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi deb yuritiladi.

Hosila va differensialning geometrik va fizik ma`nolari.

^{y = f (x) funksiya x}0 ^{nuqtaning biror atrofida aniqlangan va shu atrofda} grafigi chizilgan bo`lsin.
<sup>y = f (x) funksiya grafigining M</sup>0<sup>(x</sup>0<sup>; f (x</sup>0<sup>) ) nuqtasiga o`tkazilgan urinma
deb, M</sup>0^M1 ^{kesuvchining M}1^(x0 ^{+ Δx; f (x}0 ^{+ Δx) ) nuqta grafik bo`ylab M}0^(x0^{; f (x}0^{) ) nuqtaga ixtiyoriy ravishda intilgandagi limit holatiga aytiladi}

(rasmga qarang). M M kesuvchining burchak koeffitsienti ^{tg  y}
ga teng

0 1 _x

bo`lib, uning Δx nolga intilgandagi limiti, bir tomondan urinma burchak koeffitsienti k = tg α ga teng bo`lsa, ikkinchi tomondan hosila ta`rifiga ko`ra,

^{y = f (x) funksiyaning x}0 ^{nuqtadagi birinchi tartibli hosilasi f (x}0^{) ga teng:}

k  tg  ^lim

x0
^{y  f '(x )} .
x ⁰

x

Bundan esa, birinchi tartibli hosilaning geometrik ma`nosi kelib chi-qadi. <sup>y = f (x) funksiyaning x</sup>0 <sup>nuqtadagi f (x</sup>0<sup>) hosilasi, funksiya grafigining x</sup>0 abssissali nuqtasiga o`tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientiga teng: ^{f (x}0^{) = k.}

Hosilaning geometrik ma`nosidan foydalanib, y = f (x) funksiya grafigining <sup>M</sup>0<sup>(x</sup>0<sup>; f (x</sup>0<sup>) ) nuqtasiga o`tkazilgan urinma va normal teng-lamalari, mos</sup> ravishda, quyidagicha yozilishi mumkin:

^{y – f (x}0^{) = f (x}0^{)(x - x}0^{) va y - f (x}0^{) = - 1}
f '(x₀ )
^{(x – x}0^).

^{Masalan, y  funksiya grafigining x}0 ^{= 1 abssissali nuqtasiga o`tkazilgan}
urinma tenglamasi:

y   ¹³ 1² (x 1)
3
^yoki y 1  ¹ (x 1)
3

^{y = f (x) funksiyaning x}0 ^{nuqtadagi birinchi tartibli differensiali du esa, kattalik jihatdan, funksiya grafigining M}0^(x0^{; f (x}0^{) ) nuqtasiga o`t-kazilgan urinmasining x</sup>0 <sup>nuqta x</sup>0 <sup>+ Δx nuqtaga o`tganda mos ordinata orttirmasiga teng} Rasmdan, agarda Δx yetarlicha kichik bo`lganda, taq-ribiy tenglik Δy ≈ dy ning o`rinli ekanligini uqish qiyin emas.
y = f (x) funksiya x nuqtada chekli f (x) hosilaga ega bo`lsa, uni shu nuqtada erksiz o`zgaruvchi y ning erkli o`zgaruvchi x ga nisbatan o`zgarish tezligi sifatida talqin qilish mumkin. Funksiya orttirmasini uning differensiali bilan almashtirilishi esa, erksiz o`zgaruvchining o`zga-rishini argumentni ng kichik o`zgarishiga nisbatan chiziqli jarayon sifati-da hisoblash imkonini beradi. Masalan, moddiy nuqtaning to`g`ri chiziq bo`ylab harakat qonuni S = S(t) funksiya bilan berilgan bo`lsin. U holda, ixtiyoriy t vaqt onidagi v oniy tezlik kattaligi harakat qonuni-dan vaqt bo`yicha olingan birinchi tartibli hosila qiymatiga teng: v(t) = S(t). dS = v(t) · dt differensial esa, moddiy nuqta t va

t + dt vaqt onlari oralig`ida t momentdagi oniy v tezligi bilan tekis harakat qilganda bosib o`tishi mumkin bo`lgan masofani aniqlaydi.