Mavzu: Bir jinsli bo’lmagan issiqlik tarqalish tengalmasi uchun Koshi masalasi

n-tartibli bir jinsli bo‘lmagan chiziqli differensial tenglama.

Ushbu
(1)

bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamani qaraylik. Shu bilan bir qatorda quyidagi
(2)
bir jinsli differensial tenglamani ham qaraymiz. Bu yerda
(3)
Teorema-1. Agar funksiyalar (2) differensial tenglamaning F.Y.S dan iborat bo‘lib, funksiya (1) differensial tenglamaning
birorta xususiy yechimi bo‘lsa, u holda (1) differensial tenglamaning ixtiyoriy
yechimi
(4)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bunda ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar.
Isbot. Ushbu
(5)
ayirmani qaraymiz. Teorema shartiga ko‘ra

munosabatlar o‘rinli. Bu tangliklardan foydalanib L[z] ifodaning qiymatini hisoblaymiz:

Bundan o‘z navbatida z(x) funksiya (2) differensial tenglamaning yechimi ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun z(x) funksiya (2) bir jinsli differensial tenglamaning { } =F.Y.S orqali ifodalanadi:
(6)
(5) va (6) tengliklardan ushbu

tasvir kelib chiqadi.


2.2. Bir jinsli bo’lmagan issiqlik tarqalish tenglamasi uchun Koshi masalasi.
Endi, (1) bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning - xususiy yechimlarini topish bilan shug‘ullanamiz.
Ta’rif-1. Quyidagi
(7)
(8)
shartlarni qanoatlantiruvchi K(x,t) funksiyaga (2) bir jinsli differensial tenglamaning Koshi funksiyasi deyiladi. Bu yerda

Yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi Koshi teoremasiga asosan (2) differensial tenglamaning Koshi funksiyasi mavjud va yagonadir.
Aytaylik, K(x,t) (2) bir jinsli differensial tenglamaning Koshi funksiyasi bo‘lsin. Agar funksiyalar (2) differensial tenglamaning F.Y.Sni tashkil qilsa quyidagi
(9)
tasvir o‘rinli bo‘ladi. Bu (9) funksiyani (8) boshlang‘ich shartlarga qo‘yib - o‘zgarmaslarning qiymatini topamiz:
(10)
Bu yerda W(t)-Vronskiy determinanti, esa elementning algebraik to‘ldiruvchisi. Shunday qilib (9) va (10) tengliklardan K(x,t) Koshi funksiyasining aniq ko‘rinishini topamiz:
(11)