Mavzu: Aniqmas integrallar

Mavzu: Aniqmas integrallar

Biror oraliqda aniqlangan f(x) funksiya uchun bu oraliqning hamma qiymatlarida

(x) = f(x) yoki dF(x) = f(x)dx

shart bajarilsa, u holda F(x) funksiya f(x) funksiyani boshlang’ich funksiyasi deyiladi.

Agar f(x) funksiya F(x) boshlang’ich funksiyaga ega bo’lsa, u holda F(x) +C f(x) funksiyaning hamma boshlang’ich funksiyalari to’plami bo’ladi, bunda C – ixtiyoriy o’zgarmas. Shunga ko’ra berilgan f(x) funksiyaning har qanday ikkita boshlang’ich funksiyasi bir – biridan ixtiyoriy o’zgarmasga farq qiladi.

f(x) ( yoki f(x) dx ifoda) dan olingan aniqmas integral deb, bu funksiyaning barcha F(x) +C boshlang’ich funksiyalari to’plamiga aytiladi va bunday belgilaniladi:

Aniqmas integralni toppish jarayoni integrallash deyiladi.

Aniqmas integralning asosiy xossalari (integrallash qoidalari)

1. 
   ( = f(x)
   
2. 
   d ( = f(x)dx
   
3. 
   = F(x) +C
   
4. 
   = (k- o’zgarmas)
   
5. 
   
   
6. 
   Agar = F(x) + C va u = Ф(x) har qanday differensiallanuvchi funksiya bo’lsa, u holda ;
   

= F(u) +C

Aniqmas integrallar jadvali:

1. 
   = u +C
   
2. 
   = +C ,
   
3. 
   = ln + C
   
4. 
   = 2 + C
   
5. 
   = + C
   
6. 
   = + C
   
7. 
   = + C
   
8. 
   = + C
   
9. 
   = tg u+ C
   
10. 
    = - ctg u+ C
    
11. 
    = - ln + C
    
12. 
    = ln + C
    
13. 
    = ln + C = ln +C
    
14. 
    = ln + C = ln +C
    

Integrallash usullari

Aniqmas integralda o’zgaruvchini almashtirish quyidagicha amalga oshiriladi:

1. 
   x = (t), bunda (t) yangi o’zgaruvchi t ning differensiallanuvchi funksiyasi bo’lsin. Bu holda o’zgaruvchini almashtirish formulasi ushbu ko’rinishga ega:
   

= ;

2. 
   Ѱ (x) = t, bunda t yangi o’zgaruvchi. Bu holda o’zgaruvchini almashtirish formulasi ushbu ko’rinishga ega:
   

(ѱ (x)) ѱ (x) dx = dt.

Ikkala holda ham integrallashdan keyin o’zgaruvchi x ga qaytish kerak.

Bo’laklab integrallash usuli

=uv

formulaga asoslanadi, bunda u va v x ning integrallanuvchi funksiyalari.

Bu usul har xil sinfdagi funksiyalar ko’paytmalarini integrallashda foydalaniladi:

(x) dx, cosaxdx, sinaxdx,

x dx, x dx,
x dx, x dx.
Dstlabki uchta integralda u uchun (x) ko’phad qabul qilinadi, oxirgi to’rtta integralda esa u uchun arc tgx, arc sinx, arc cosx, lnx qabul qilinadi.

Ba’zi hollarda bo’laklab integrallash formulasini bir necha marta qo’llash zarur bo’ladi.