Mavzu: Aniqmas integral



Download 22,18 Kb.
Sana06.01.2022
Hajmi22,18 Kb.
#320964
Bog'liq
Aniqmas integral


Mavzu: Aniqmas integral

Ma’lumki, biror funksiyadan hosila hisoblash jarayonini uni

differensiallash deb yuritilar edi. Biz endi differensiallash amaliga teskari bo‘lgan amal

integrallash amalini o‘rganamiz.

Differensiallash hisobining asosiy masalasi berilgan funksiyaga ko‘ra uning

hosilasini topish bo‘lsa, integral hisobining asosiy masalasi funksiya hosilasiga ko‘ra

uning o‘zini topishdir.

Aytaylik funksiya biror X oraliqda qaralayotgan bo‘lsin.

1-Ta’rif. Agar X oraliqning barcha nuqtalarida

(1)


tenglik o‘rinli bo‘lsa, o‘sha oraliqda funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi

deb ataladi.

Masalan: funksiya uchun boshlang‘ich funksiyadir,

yoki | | funksiya uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi.

YUqoridagi ta’rif hamda misollardan ko‘rinayaptiki, agar funksiya

funksiyaning biror oraliqda boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, o‘sha oraliqda

ifoda ham boshlang‘ich funksiya bo‘ladi, chunki 0 bo‘lib, . Demak,

berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari cheksiz ko‘p ekan. Umuman,

boshlang‘ich funksiyalar haqidagi quyidagi teorema o‘rinli.

1-Teorema. Har qanday uzluksiz funksiya cheksiz ko‘p boshlang‘ich funksiyalarga ega

bo‘lib, ularning ixtiyoriy ikkitasi bir- biridan o‘zgarmas songa farq qiladi.

◄Isbot. Uzluksiz funksiyaning boshlang‘ichi mavjudligini isbotlash

muammoliroq bo‘lganligi sababli, biz bu masalani ochiq qoldiramiz. Boshlang‘ich

funksiyalarning soni cheksiz ko‘pligi yuqorida ko‘rsatildi. Bizga ikkita boshlang‘ich

funksiyaning bir- biridan o‘zgarmasga farq qilishini isbotlash qoldi. hamda

lar funksiya uchun boshlang‘ich funksiyalar bo‘lsin. Demak

,

Bu ikki tengliklarni bir- biridan ayirsak



ya’ni

[ ]


Agar fuknsiyaning hosilasi nolga teng bo‘lsa, uning o‘zi o‘zgarmas bo‘lganligi uchun

shuni isbotlash talab etilgan edi.

Demak ixtiyoriy ikkita boshlang‘ich funksiya uchun deb

yozish mumkin. ►

2-Ta’rif. Agar X oraliqda funksiya uchun boshlang‘ich funksiya

bo‘lsa, u holda o‘sha oraliqda ifodani funksiyaning aniqmas integrali

deb yuritiladi va ∫ kabi yoziladi.

Demak ta’rifga ko‘ra:

∫ (2)

bu yerda ∫ aniqmas integral belgisi, integrallash o‘zgaruvchisi, -integrallanuvchi funksiya hamda, - esa integral belgisi ostidagi ifoda deb



yuritiladi.

Agar funksiya ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, aniqmas integral

geometrik jihatdan bu boshlang‘ich funksiyani vertikal ravishda yuqoriga va pastga

siljitishlardan hosil bo‘ladigan chiziqlar sinfini ifodalaydi.

Funksiyalarni integrallash amali funksiyalarni differensiallash amaliga teskari

bo‘lgan amaldir. Ammo differensiallash amali kabi elementar funksiyalarni integrallash

har doim ham mumkin bo‘lavermaydi. SHuning uchun funksiyalarni sinflarga ajratib,

bu sinflarni integrallash usullarini alohida o‘rganamiz.

Aniqmas integralning asosiy xossalari.

1. Agar biror oraliqda (7.1) tenglik o‘rinli bo‘lsa aniqmas integralning hosilasi

integrallanuvchi funksiyaga teng bo‘ladi, ya’ni:

∫ (3)


Haqiqatan ham,

2. Agar (1) tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda



∫ (4)

bo‘ladi.

Funksiya differensialining aniqlanishiga asosan:

3. Agar aniqmas integral belgisi ostida biror funksiyaning differensiali ishtirok



etsa bu aniqmas integralning qiymati differensial belgisi ostidagi funksiya bilan

o‘zgarmas sonning yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni:

∫ (5)

Haqiqatan ham differensialning ta’rifi va (7.1) tenglikka ko‘ra



∫ ∫ ∫

Masalan, ∫ ∫ . Anikmas integral jadvali.

Quyida biz asosiy elementar funksiyalar aniqmas integrallarining jadvalini

keltiramiz. Jadvaldagi har bir formulaning to‘g‘riligini differensiallash yo‘li bilan

tekshiriladi.

1. ∫


2. ∫ | |

3. ∫


4. ∫

5. ∫


6. ∫

7. ∫


8. ∫

9. ∫ | |

10. ∫ | |

11. ∫


12. ∫

13. ∫


14. ∫


15. ∫ | |

16. ∫



| √ |



17. ∫

Eslatma. Bu jadvalga qo‘shimcha ravishda giperbolik funksiyalarning

integrallarni ham qo‘shishimiz mumkin. Keltirilgan integrallar jadvalidagi 9, 10, 15, 16,

17 formulalarga mos keluvchi formulalar hosilalar jadvalida yo‘q. 17- formulani quyida

keltiriladigan bo‘laklab integrallash usuli yordamida chiqaramiz. Qolganlarini esa

bevosita differensiallash yordamida isbotlash mumkin. Masalan, 16 formulani

tekshiraylik:

* | √ |+


(



)

Demak 16 formula o‘rinli. Qolgan formulalarni ham xuddi shu kabi teshirishimiz



mumkin.

niqmas integralni hisoblashning qoidalari

2-Teorema. O‘zgarmas ko‘paytuvchini integral belgisidan chiqarib yozish

mumkin, ya’ni agar bo‘lsa, u holda

∫ ∫ (6)

bo‘ladi.


◄Isbot. Bu tenglikning ikkala tomonini differensiallasak,

∫ , ∫ ∫ .

Demak, berilgan tenglikning chap va o‘ng tomonidagi funksiyalar bir- biridan

o‘zgarmas songa farq qiladi. Aniqmas integrallar o‘zgarmas son ma’nosida teng

bo‘lganligi uchun, teorema isbot bo‘ldi. ►

3-Teorema. CHekli dona funksiyalar algebraik yig‘indisining integrali

qo‘shiluvchilar integrallarining algebraik yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni: ∫[

] ∫ ∫ ∫ (7)

◄ Isbot.Tenglikning ikkala tomonini differensiallab topsak

[∫[ ] ]

[∫ ∫ ∫ ]

YUqoridagi xossadagi kabi (7) tenglikning ikki tomoni o‘zgarmas ma’nosida o‘zaro

teng bo‘lganligi uchun teorema o‘rinli. ►

4-Teorema. Agar (2) tenglik o‘rinli bo‘lsa, har doim quyidagilarni yozish

mumkin:

∫ (8)


∫ (9)

∫ (10)


◄Isbot. Biz umumiy bo‘lgan oxirgi holni isbotlaymiz. Buning uchun (10)

tenglikning chap va o‘ng tomonlarini differensiallaymiz

[∫ ] ,

* + ( )



CHap va o‘ng tomon hosilalari teng, shuning uchun (10) tenglik o‘rinli bo‘ladi.►

YUqoridagi teoremalar qo‘llanishiga doir misollar qaraylik.

1-Misol. ∫ (

) integralni hisoblang.



►∫ (

) ∫ ( )



2-Misol. ∫

integralni hisoblang.



►Integral ostidagi ifodani shakl almashtirsak



Darajali funksiyaning integrali va (7.10) formulaga ko‘ra





Bo‘laklab integrallash va o‘zgaruvchini almashtirish usuli.

Integrallash amali – differensiallashga teskari bo‘lganligi uchun,

differensiallashda qo‘llaniladigan ko‘pchilik usullarni aniqmas integralni hisoblashga

ham o‘tkazish mumkin. Masalan yig‘indidan bu amallar bir xil hisoblanadi yoki

o‘zgarmas ko‘paytuvchini ikkala amaldan ham tashqariga chiqarish mumkin.

Bo‘laklab integrallash usuli.

Bu usul ko‘paytmaning differensiali formulasidan kelib chiqadi. va

funksiyalar bo‘yicha differensiallanuvchi bo‘lsin. Bu holda

yoki

Oxirgi tenglikni integrallab topsak



∫ ∫ ∫

yoki


∫ ∫ (11)

Hosil bo‘lgan tenglikka bo‘laklab integrallash formulasi deb ataladi.

Mazkur formuladan foydalanishda aniqmas integral ostidagi ifodani shunday

bo‘laklarga ajratish lozimki, natijada tenglikning o‘ng tomonidagi integral dastlabkisiga

qaraganda sodda integralga keladigan bo‘lsin. Ushbu formulaning qo‘llanilishiga doir

bir necha misol qaraylik.

3-Misol. ∫ ni hisoblang.

► sifatida ni, ni deb olsak, va bo‘ladi. Demak,

∫ | | ∫ ◄

Ko‘rib turibmizki bir marta bo‘laklash formulasi qo‘llanilganidan so‘ng jadval

integraliga keldik.

4-Misol. ∫ ni hisoblang. ►∫ | | ∫ ∫ ◄

, , , , , ,

kabi hamda ularga o‘xshash funksiyalar bo‘laklab integrallash usuli yordamida

integrallanadi. qatnashgan hollarda ( natural son) nechaga teng bo‘lsa shuncha

marta bo‘laklab integralashga to‘g‘ri keladi.

5-Misol. ∫ integralni hisoblang.

►∫ | | ∫

| | ∫



∫ va ∫ kabi integrallarni hisoblashda



integral ostidagi ifoda , yoki kabi bo‘laklariga

ajratiladi. Bo‘laklab integrallash formulasi bir marta qo‘llanilganda yana yuqoridagi

integrallarga o‘xshash integrallar hosil bo‘ladi. U yerda yana bir marta bo‘laklab

integrallash usulini qo‘llaniladi. Natijada yana dastlabki integralga o‘xshash integral

hosil bo‘ladiki, uni chap tomonga o‘tkazib dastlabki integral hisoblanadi.

►∫ | | ∫

| | * ∫ +

SHunday qilib

∫ * ∫ +

Oxirgi tenglikdan izlanayotgan integralni topamiz



∫ ◄
Download 22,18 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish