Mavzu: Algebraning ta`rifi va misollar, morfizmlar, factor-algebra

Ta’rif 5. Algebraik sistemaning quvvati deb A “tashuvchi”ning quvvatiga aytiladi.
Agar ∑ signatura predikat (funksional) simvollarga ega bo’lmasa, u funksional (predikat) signatura deb ataladi.
Agar sistemaning signaturasi funksional (predikat) bo’lsa, unga algebra (model) deyiladi.
Misol 1. bo’lsin, u holda { } to`plam ikkita ikki o’rinli amallar bilan algebra tashkil etadi.
Misol 2. to`plam ≤( µ (≤) =2) binar munosabatli, +, ikki o’rinli amallar, ‘: n→ n+1 bir o’rinli amal (µ(‘)=1) va ikkita nol o’rinli amallar (constantalar) 0,1 sistemasidir.
Misol 3. majmua algebra tashkil etmaydi, chunki bo’lish Z to’plam amali hisoblanmaydi, masalan 2:3 Z, element ham Z to’plamga tegishli emas.
Morfizmlar
Faraz qilaylik U={A, ∑} , B={B,∑} algebraik sistemalar berilgan bo’lsin.
Ta`rif 1. Agar akslantirish uchun quyidagi shartlar bajarilsa,

1. 
   U va B sistemalardagi funksiyalarga mos keluvchi istalgan funksional simvol uchun va istalgan α₁, α₂, … α_n uchun
   
2. 
   U va B sistemalardagi P_U va P_B predikatlarga mos keluvchi istalgan predikat simvollar uchun va ixtiyoriy uchun unga U sistemani B sistemaga akslantiruvchi gomomorfizm deb ataladi.
   

Agar gomomorfizm bo’lsa, uni quyidagicha belgilaymiz: .
Gomomorfizmda amallar harakati va munosabati saqlanadi. Bu bir sistemaning xossalarini o’rganishda boshqa sistemaga ko’chirishga imkon beradi.
Misol. U = {Z, +, ≤} va B={Z² , + ,≤} sistemalarni qaraymiz, B sistemada qo’shish quyidagi qoida bo’yicha amalga oshiriladi.
, tartiblash munosabati
.
akslantirish sharti bo’yicha aniqlansa u gomomorfizm
bo’ladi. Haqiqatdan, ham istalgan a,b uchun
agar a ≤ b bo’lsa, u holda (a,0) ≤ (b,0) , ya’ni munosabatlar bajariladi.