Mavzu: al xorazmiy, N. Tusiy, G`. Al-koshiy, ulug`bek asarlarida arifmetikani rivojlantirish haqidagi fikrlari reja

Mavzu: AL XORAZMIY, N.TUSIY, G`.AL-KOSHIY, ULUG`BEK ASARLARIDA ARIFMETIKANI RIVOJLANTIRISH HAQIDAGI FIKRLARI

REJA:

1. Muhammad Muso al-Xorazmiyning o’nli sanoq sisitemasida amallar bajarish algaritmga doir ishlari haqida.

2. Al-Xorazmiyning algebra va arifmetikaga oid ishlari.

3. Al-Xorazmiy tomonidan yuza tushunchasining rivojlantirilishi va ba’zi bir geometrik figuralarning yuzlarini hisoblash haqidagi ilmiy izlanishlari.

4. Mirzo Ulug`bek algebra va arifmetikaga oid ishlari.

Al-Xorazmiyning o`nli sanoq sistemasida amallar bajarish algaritmlariga doir ishlari haqida

Xorun ar-Rashidning o'gli Ma'mun ar-Rashid Marv shahriga turli mamlakat olimlarini to'plagan, ilm-fanga homiylik qilgan. Al- Xorazmiy ham Marvga taklif etiladi. Keyinchalik, olim Bog⁽dodda «Baytul-Hikma» - «Donolik uyi»da qadimiy qoMyozmalarga boy kutubxonaga boshchilik qildi, ilmiy ish bilan faol shug'ullandi. «Baytul- Hikma» hozirda «Ma'mun akademiyasi» nomi bilan mashhur. Bu yerda o^vrta osiyolik olimlar ko'p bo`lgan.

Ai-Xorazmiyning ikkita matematik risolasi unga katta shuhrat keltirdi, uning nomini abadiylashtirdi. Shulardan biri «A1- kitob al-muxtasar fi-hisob al -jabr valmuqobala» — «Aljabr al- muqobala hisobi haqida qisqacha kitob» deb ataladi. Bu asar lotin tiliga 1145 yilda tarjima qilingan. Kitobning 1342 yilgi arabcha qo`lyozmasi Angliyaning Oksford universiteti Bodleyan kutubxonasida saqlanadi. Turli yillarda London, Parij, Nyu-York, Geydelberg, Berlin, Qohirada chop etilgan. Asar nomidagi «al-jabr» so'zi arabchadan lotinchaga, Yevropa tillariga tarjima qilish jarayonida, o'sha tillardagi alfavitga muvofiq turlicha yozilgan, aytilgan va natijada «al-jabr» «algebra»ga aylangan. Shunday qilib, maktablarda, oliy o'quv yurtlarida o'qitiladigan fan - «algebra»ning nomi shu «al-jabr» so'zidan kelib chiqqan.

Al-Xorazmiy o'z asarini amaliyot masalalaridan kelib chiqib yaratdi. Olim yozadi:

«...Men arifmetikaning oddiy va murakkab masalalarini o'z ichiga oluvchi «Aljabr» val- muqobala hisobi haqida qisqacha kitob»ni ta'lif qildim, chunki meros taqsim qilishda, vasiyatnoma tuzishda, mol taqsimlashda va adliya ishlarida, savdoda va har qanday bitimlarda va shuningdek, yer o`lchashda, ariqlar qazishda, muhandislikda va boshqa shunga o'xshash turlicha ishlarda kishilar uchun bu zarurdir». Binobarin, al- Xorazmiy bu asarini kundalik hayot ehtiyojlari va talabini hisobga olgan holda yozgan. Olim o"z risolasida chiziqli hamda kvadrat tenglamalar yechishning umumiy metodini berdi. Bizga maktabdan tanish bo'lgan kvadrat tenglama ildizlarini topish formulasi al-Xorazmiy formulasidir. Olim bu formulalarni chiqarishda geometrik metoddan foydalandi, bu metod ancha ko`rgazmali va har bir matematika muallimi uchun ibratlidir. Alloma yashagan davrda formulalar «so'z» bilan yozilardi, formulalarning harfiy ifodasi hali yo'q edi. Bu asar yuz yillar davomida algebradan asosiy qo`llanma bo'lib qoldi va matematika taraqqiyotida beqiyos ahamiyat kasb etdi. Turli tillarga tarjima qilinib, qayta-qayta nashr etildi va el orasida mashhur boldi. Yusuf Xos Hojibning 1069 yilda yozilgan «Qutadg'u bilig» («Saodatga eltuvchi bilim») asarida ham alXorazmiy algebrasi - «al- jabr val muqobala» tilga olinadi. Yusuf Xos Hojib «olim ilmi elga bo`ladi mash'al» deydi va yoshlarni ilm olishga, xususan, matematika - ilmi riyoziyot (qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, kasrlar ustida amallar, sonlardan ildiz chiqarish) bilan shug'ullanishga da'vat etadi.

Olim shuhratini olamga yoygan yana bir asar «Algorizmi hind hisobi haqida» deb ataladi. Bu asar ham matematika rivojida nihoyatda katta rol o'unadan. Al-Xorazmiy mazkur asarida o'nli pozitsion (martabali) hisob sistemasiga asoslangan arifmetikani fizimlt bayon qildi. Biz kundalik hayotimizda ishlatayotgan hisoblash tizimi - o'nli martabali tizim hisoblanadi, chunki u har qanday sonni 10 ta raqam - 0, 1, 2, ..., 9 yordamida tasvirlash mumkinligiga asoslangan. Hisoblash tizimining pozitsion deyilishiga sabab shuki, sonni ifodalaydigan raqamlar egallagan joyiga – pozitsiyasiga - martabasiga qarab turli ma'no kasb etadi. Al-Xorazmiy «Algorizmi hind hisobi haqida» risolasida sonlar ustida arifmetik to'rt amal - qo'shish, ayirish, ko*paytirish, bo'lish va sonlardan jliz chiqarish qoidalarini beradi. Bu lallarni bajarishda o'nli martabali sistema qulayligini muallimlarimiz biladilar.

Olimning bu asari ham lotin tiliga, Yevropa tillariga tarjima qilingan va o'nlab marta nashr etilgan. Shunday qilib, o'sha yerlarga o'nli sanoq sistemasi kirib borgan. «Al-Xorazmiy» so'zi lotin tilida ham, Yevropa tillarida turlicha yozilgan.

Shunday yozuvlar ichida «Algorifmi», «Algoritmi», «Algoritmus» kabi yozuvlar ham bor.

Al-Xorazmiyning bu asari o'rta asrlarda Yevropada shunchalik keng tarqaldiki, hisobni bajarishning tayin bir qoidasi, usuli algoritm deb atala boshladi.

Shunday qilib, «algoritm» atamasi hisoblash ishlarining bajarilishidagi ma'lum bir ketma- ketlikni, qoidani anglatadi va u «Informatika va hisoblash texnikasi asosl„ari» fanida, turli texnologiyalarni yaratishda asosiy rol o'ynaydi.

Al-Xorazmiydek ulug" olimning ilmiy merosi - bashariyat mulkidir. Hozirgi zamon algebrasi, algoritmlar nazariyasi, fan va texnikaning ularga asoslangan sohalari katta ilmiy natijalarga erishdi.

Sonlarni «ustun» usulida qo'shish va ayirish al-Xorazmiy asarida batafsil bayon qilinadi. Bu qoidalar metodik (uslubiy) nuqtai nazardan mukammal va o'qituvchiga ham, o'quvchiga ham tushunarli, ravon izohlangan. Masalan, alXorazmiy qo`shish qoidalalarini qo`ydagicha tushuntiradi:

«Agar sen songa sonni qo'shmoqchi bolsang, ikkala sonni ikki qatorga, ya'ni birini ikkinchisining tagiga va birlar martabasini birlar martabasi tagiga qoy… Har bir martabani uning ustidagi o'z navidagi martabaga qo'shasan. Ya'ni birlarni birlarga, o'nlarni o'nlarga va hokazo. Mabodo, biror martabada 10 yoki undan ko'p son yigilgan bo'lsa, ular yuqori martabaga ko'tariladi va har bir 10 yuqori martabada 1 bo'ladi. Agar bu yuqori martabaning o'zida boshqa son bo'lsa, u 1 bilan qo'shiladi; agar bu natija 10 yoki 10 dan ortiq bo'lsa, u holda har bir 10 dan 1 hosil bo'lib, yana yuqori martabaga ko'tariladi va hokazo. Agar sondan 10 dan kichik bo`lgan biror son qolgan bo'lsa yoki sonning o'zi 10 dan kichik bolsa, uni o'sha martabada qoldir. Agar sondan 10 dan kichik bo`lgan hech narsa qolmasa, martaba bo'sh qolmasligi uchun kichik doiracha (0 - nol) qo'yib qoy, chunki u yer bo`sh bo`lib qolsa, martabalar kamayib, sen shu bilan yanglishib qolasan...»

Olimning ikki sonning birini ikkinchisidan ayirishni tushuntirishi nihoyatda aniq, muallimlarimiz uchun ibratlidir:

«Agar sen sondan sonni ayirishni xohlasang, ikkala sonni ikki qatorga, ya'ni birini ikkinchisining ostiga va birlar martabasini birlar martabasi ostiga qo'y-.. Har bir martabani uning ustidagi o'sha navdagi martabadan ayir. Agar ayirishda yetarli son boMmasa, ya'ni u kichik bo`lsa yoki u yerda hech narsa bo`lmasa (kichik doiracha bo'lsa), o'sha yuqoridagisidan yuqori bo`lgan martabadan 1 ni ol va uni 10 qil; shunda senga kerakli bo`lgan narsani ayirasan...»

Quyidagi misol timsolida bobomiz al-Xorazmiy o`rgatganlari kabi ish tutamiz:

1-misol. Yig'indini hisoblang:

873 + 427 1-qadam. Sonlardan birini ikkinchisining ostiga, birlar martabasini birlar martabasi ostiga qo`yamiz

873

427

2-qadam: Har bir martabani uning ustidagi o'z navidagi martabaga qo`shamiz, ya'ni birlarni birlarga, o'nlarni o'nlarga va hokazo:

3 ta birlikni 7 ta birlikka qo'shsak, 10 ta birlik hosil bo'ladi. Bu 10 ta birlik yuqori martabaga - o'nlar xonasiga 1 bo`lib o'tadi va u yerdagi 10 liklarga qo'shiladi. 10 ta birlik 1 ta o'nlik bo`lib, yuqori martabaga ko'tarilib ketsa, yig'indining birlar xonasiga nimani yozamiz?

«Agar sondan 10 dan kichik bo`lgan hech narsa qolmasa, martaba bo'sh qolmasligi uchun kichik doiracha 0 (nol) qo'yib qo<sup>`</sup>y, chunki u yer bo'sh bo`lib qolsa, martabalar kamayib qoladi...», deydi al-Xorazmiy. Demak, yig`indining birlar xonasiga 0 (nol)ni yozamiz:

873

+427

3-qadam. O'nlar xonasida 7 raqami bor, ya'ni birinchi sonda 7 ta o'nlik mavjud. Uni ikkinchi sondagi 2 ta o`nlik bilan qo`shib, 9 ta o'nlikni hosil qilamiz, unga birlar xonasidan «Yuqori martabaga o'tib», 1 bo`lgan sonni -1 ta o'nlikni qo'shib, 10 ta o`nlikni, ya'ni 1 ta yuzlikni olamiz.

Yig'indining 10 lar xonasi bo'sh bo`lib qolmasligi uchun u yerga 0 (nol)ni yozamiz:

873

+ 427

00

4-qadam. 10 ta o'nlik yuzlar xonasiga 1 ta yuzlik bo`lib qo'shiladi. Yuzlar xonasidagi raqamlarni qo'shamiz:

8 ta yuzlik + 4 ta yuzlik = 12 ta yuzlik. 12 ta yuzlik + 1 ta yuzlik = 13 ta yuzlik = 1 ta minglik + 3 ta yuzlik

Shunday qilib, yig'indining yuzlar xonasiga 3 ni, minglar xonasiga 1 ni yozamiz:

873

+ 427

1300 Javob: 1300

2-misol. Ayirmani toping:

5479 - 3685. Bobomiz al-Xorazmiy o'rgatgan bo`yicha hisoblaymiz.

1-qadam: Birinchi son (kamayuvchi)ni ikkinchisining (ayriluvchining) ostiga va birlar martabasini birlar martabasi ostiga qo'yamiz: 5479

–3685

2-qadam: Har bir martabani uning ustidagi o'sha navdagi martabadan ayiramiz: kamayuvchining birlar xonasidagi 9 dan ayriluvchining uning bilan bir xil martabada - birlar xonasida bo`lgan 5 ni ayiramiz. Natijada 4 hosil bo`ladi, uni ayirmaning birlar xonasiga yozamiz:

5479

–3685

4

3-qadam. Bu qadamda birinchi sonning o'nlar xonasidagi 7 raqamidan ikkinchi sonning birlar xonasidagi 8 raqamini ayirishimiz kerak, ammo buni bajarib bo'lmaydi, chunki 7 soni 8 sonidan kichik. Xo'sh, bu holda nima qilish kerak?

Al-Xorazmiy yozadi: «...agar u kichik bo'lsa, o'sha yuqoridagisidan (ya'ni o'nlar xonasidan) yuqori bo`lgan martabadan (ya'ni yuzlar xonasidan) 1 ni ol va uni 10 qil. (ya'ni 1 ta yuz 10 ta 10 da teng: 100 = 10 x 10, 1 ta yuzlik o'nta o'nlikdan tuzilgan). Kamayuvchining yuzlar xonasida 4 raqami turibdi, ya'ni kamayuvchida

4 ta yuzlik bor, undan 1 ta yuzlikni «qarz» olib, 7 ta o'nlikka qo'shamiz, natijada 17 ta 10 lik hosil bo'ladi.

17 ta o'nlikdan 8 ta o'nlikni ayirsak, 9 ta o'nlik qoladi. Demak, ayirmaning o'nlar xonasiga 9 raqamini yozamiz: 5479

–3685

94

4-qadam. Kamayuvchida uchta yuzlik qolgan edi, 3 dan 6 ni ayirib bo'lmaydi, shuning uchun yuqori martabadan - minglar xonasidan 1 ta minglikni

«qarz» olib, uni 10 ta yuzlikka aylantiramiz, 10 ta yuzlikni 3 ta yuzlikka g'o'shib, 10 (yuzl) + 3 (yuzl) - 13 ta yuzlikka ega bo'lamiz. 13 ta yuzlikdan 6 ta yuzlikni ayirsak, 7 ta uzlik qoladi.

Shunday qilib, ayirmaning yuzlar xonasiga 7 raqamini yozamiz: 5479

–3685

794

5-qadam. Kamayuvchida 4 ta minglik qolgan edi. Undan 3 ta minglikni ayirib, 1 ta minglikni olamiz, ya'ni ayirmani minglar xonasiga 1 raqamini yozamiz: 5479

–3685

1794

Javob: 1794

Yodingizda bo'isinki, butun dunyo maktablarida sonlar ustida bajariladigan to'rtta amal (qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish) buyuk yurtdoshimiz alXorazmiy qoidalari bo'yicha bajariladi. Biz bundan, albatta faxrlanamiz.