Mavzu : Giperbolik sistema uchun Fur’e usuli va Laplas almashtirishlari reja : Kirish

Tadqiqod ob’ekti. Tadqiqodning ob’ektini giperbolik sistema uchun Fur’e usuli va Laplas almashtirishlarini qo’llash tashkil etadi.
Tadqiqodning predmeti. Giperbolik sistema uchun Laplas almashtirishlarini tadbiq etish va chegaraviy masalalarning xos funksiyasidan foydalanish usullari ishning predmeti sifatida qaraladi.
Tadqiqod maqsadi va vazifalari. Ko’plab fizik va mexanik jarayonlarni ifoda etuvchi giperbolik tipdagi tenglamalar uchun ba’zi elementlarni o’rganish hamda Laplas almashtirishlari haqidagi teoremalarni isbotlash tadqiqodning asosiy maqsadi etib belgilandi.
Tadqiqodning maqsadini amalga oshirish uchun quyidagi vazifalarni hal etish nazarda tutilgan :

1. 
   Giperbolik sistema haqida umumiy ma’lumotlar to’plash va o’rganish ;
   
2. 
   Giperbolik sistema uchun Fur’e usulini qo’llash haqida umumiy tushunchalarga ega bo’lish hamda Laplas almashtirishlari tadbiqlarini o’rganish;
   
3. 
   Giperbolik sistema uchun chegaraviy masalalarning xos funksiyasidan fodalanish;
   
4. 
   Giperbolik sistema uchun Laplas almashtirishlari haqidagi teoremani isbotlash;
   
5. 
   Konservativ giperbolik sistema uchun Fur’e qatorini qo’llash va undan olingan natijalar tahlili;
   

Tadqiqodning asosiy masalalari va farazlari. Dissertatsiyaning birinchi va ikkinchi boblarida o’rganilgan masalalar natijalaridan foydalangan holda oxirgi bobda tadqiqodning asosiy masalasi , ya’ni Laplas almashtirishlarini tadbiq etish hamda Fur’e usulini qo’llashdan olingan natijalar o’rganiladi.
1960 – yildan boshlab parabolik tipdagi tenglamalar ham o’rganila boshladi. 1959 – yilda I. M. Gelfand tomonidan sohaning bir qismida parabolik , ikkinchi qismida esa giperbolik tipdagi tenglama bilan ifodalanadigan masala qaraldi. Bu ishda g’ovak muhit bilan o’ralgan kanalda gazning harakati bilan bog’liq bo’lgan masala qaralgan bo’lib , gazning kanaldagi harakati to’lqin tenglamasi bilan , uning tashqarisida esa diffuziya tenglamasi bilan ifodalanadi.
1964 – yilda Y. S. Uflyand tomonidan elektr kabellarining tebranishi haqidagi masala qaraladi va bu masalaning matematik modeli birinchi chorakda giperbolik tenglama bilan ifodalanadi.
Keying izlanishlar shuni ko’rsatadiki , juda ko’plab jarayonlarning matematik modellari giperbolik tipdagi tenglamalar uchun qaraladigan klassik masalalar bilan ifodalanadi. Jumladan, g’ovak – kapilyar muhitda issiqlik va issiqlik almashish jarayonining matematik modeli , bir jinsli bo’lmagan muhitda elektromagnit mayydonning tarqalishining matematik modeli , qovushqoq va qovushqoq – elastik suyuqliklar harakatining modellari va boshqalar.
G.M.Struchinoy, I.S.Gayduk, A.Ivanov, O.A.Ladijenskaya tomonidan qaralgan ishlar bu sohadagi ishlardan bo’lib , bu ishlar giperbolik tipdagi tenglamalar uchun boshlang’ich masalalarni o’rganishga bag’ishlangan. Bundan tashqari Eyler, Laplas, Fur’e, Dyuamellar giperbolik sistema ustida izlanishlar olib brogan.
Hozirgi kunga kelib , giperbolik tenglamalar uchun asosiy klassik chegaraviy shartli masalalardan tashqari Trikomi masalasi , Gellersted masalasi va ularning umumlashmasidan iborat bir qator yangi lokol va nolokol masalalar o’rganilgan. Shuningdek , tekislikda va fazoda ikkinchi va uchinchi tartibli turli ko’rinishdagi giperbolik tenglamalar uchun masalalar qaralgan.
Giperbolik tipdagi tenglamalarning to’liq biografiyasini T.D.Jurayev, A.Sopuyev va M.Mamajonovlarning monografiyasidan , shuningdek , M.S.Salohitdinov, X.B.Bjixatlova, V.N.Vragov, A.M.Naxushev, K.B.Sabitov, J.O.Taxirov va ularning shogirdlarining ishlaridan topish mumkin.