Limitga ega bo’lgan funksiyalarning sodda xossalari.
10. Agar f(x)=b bo’lib, b>p (bbo’lsa, u holda x ning a ga yetarlicha yaqin qiymatlarida f(x)>p (f(x) bo’ladi.
Hususiy holda, f(x)=b bo’lib, b>0 (b<0) bo’lsa, x ning a ga yetarlicha yaqin qiymatlarida f(x)>0 (f(x)<0 ) bo’ladi.
Bu xossaning isboti limitning Geyne ta’rifi hamda yaqinlashuvchi ketma-ketlikning mos xossasidan kelib chiqadi.
20. Agar chekli f(x)=b mavjud bo’lsa, a ning yetarlicha kichik atrofida f(x) funksiya chegaralangan bo’ladi.
Isbot. Ta’rifga ko’ra har bir >0 uchun >0 topilib, x ning 0<|x-a|< tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida |f(x)-b|< tengsizlik o’rinli bo’ladi.
|f(x)-b|< b- demak, f(x) funksiya x ning
(a- ;a+ ) atrofida chegaralangan.
30. Agar x ning a nuqtaning biror (a- ;a+ ) atrofidan olingan barcha qiymatlarida
f(x) g(x) h(x)
tengsizlik o’rinli hamda f(x), h(x) limitlar mavjud bo’lib, f(x)= h(x)=b bo’lsa, u holda g(x)=b bo’ladi.
Bu xossaning isboti limitning Geyne ta’rifi hamda yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossasidan kelib chiqadi.
Bir tomonli limitlar.
1.12-Ta’rif. Agar ixtiyoriy (a- ; a) intervalda X to’plamning kamida bitta (cheksiz ko’p) nuqtalari bo’lsa, a nuqta X to’plamning chap limit nuqtasi deyiladi.
1.13-Ta’rif. Agar ixtiyoriy (a; a+ ) intervalda X to’plamning kamida bitta (cheksiz ko’p) elementlari mavjud bo’lsa, a nuqta X to’plamning o’ng limit nuqtasi deyiladi.
y=f(x) funksiya X to’plamda berilgan bo’lib, a X to’plamning o’ng (chap) limit nuqtasi bo’lsin.
1.14-Ta’rif (Geyne). Agar X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan va har bir hadi a dan katta (kichik) bo’lib, a ga intiluvchi har qanday (xn) ketma-ketlik olganimizda ham mos (f(xn)) ketma-ketlik hamma vaqt yagona b ga intilsa, b soni f(x) funksiyaning a nuqtadagi o’ng (chap) limiti deb ataladi.
Funksiyaning o’ng limiti f(x)=b yoki f(a+0)=b, chap limiti esa f(x)=b yoki f(a -0)=b orqali belgilanadi.
Misol. f(x)=[x] - x ning butun qismi. a=1 bo’lsin. 0<xn<1 deb olsak, u holda f(xn)=[xn]=0.
1< xn <2 bo’lsa, f(xn)=[xn]=1 bo’ladi.
f(x)= 1=1, f(1+0)=1 ; f(x)= 0=0, f(1-0)=0
Ta’rif. (Koshi) Agar har bir >0 son uchun shunday >0 topilib, x ning atengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida | f(x)-b|< tengsizlik bajarilsa, b son f(x) funksiya-ning a nuqtadagi o’ng (chap) limiti deb ataladi.
Maple dasturida f(x), f(x) limitlarni hisoblash uchun mos ravishda a nuqta X to’plamning chap va o’ng limit nuqtasi bo’lsin. Ushbu teoremaning o’rinli ekanligini sezish qiyin emas.
1.1-Teorema f(x) funksiya a nuqtada limitga ega bo’lishligi uchun shu nuqtada chap va o’ng limitlarning mavjud bo’lib, f(a-0)= f(a+0) tenglik o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
1.2-Teorema. (limitning yagonaligi haqida ). Agar f(x) funksiya x a da limitga ega bo’lsa, bu limit yagona bo’ladi.
Isboti ketma-ketlikdagi kabi ko’rsatiladi.
1.3-Teorema . Agar va bo’lsa, u holda
a)
b)
c)
Bu xossalarning isboti limitning Geyne ta’rifi hamda yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning arifmetik xossalaridan bevosita kelib chiqadi.
1.2.Chekli limitga ega bo`lgan funksiyalarning xossalari
Chekli limitga ega bo’lgan funksiyalar qator хossalarga ega bo’lib, bu хossalarni o’rganishda asosan funksiya limiti ta’riflaridan foydalaniladi.
funksiya X to’plamda berilgan, a esa Х ning limit nuqtasi bo’lsin.
10. Agar funksiyaning a nuqtada limiti mavjud bo’lsa, bu limit yagonadir.
20. Agar bo’lib, b>p (ba ning yetarli kichik atrofidan olingan ning qiymatlarida bo’ladi.
30. Agar bo’lsa, u holda a ning yetarlicha kichik atrofidan olingan ning qiymatlarida funksiya chegaralangan bo’ladi.
40. Agar , bo’lib, х argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda tengsizlik o’rinli bo’ladi.
50. Agar х argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik o’rinli bo’lib, bo’lsa, u holda – mavjud va u ham b ga teng.
60. Agar , bo’lsa, u holda , , funksiyalar ham limitga ega va , , munosabatlar o’rinli.
70. Agar mavjud bo’lsa, u holda ham majud va u ga teng (k-const), ya’ni .
80. Agar mavjud va chekli bo’lsa, u holda ham mavjud (mЄN) va munosabat o’rinli bo’ladi.
Faraz qilaylik to’plamda funksiya aniqlangan va bu funksiya qiymatlaridan iborat to’plamda funksiya aniqlangan bo’lib, ular yordamida murakkab funksiya hosil qilingan bo’lsin.
90. Agar 1) bo’lib, a nuqtaning shunday (a – , a + ) atrofi mavjud bo’lsaki, bu atrofdan olingan barcha х lar uchun bo’lsa, 2) c nuqta T to’plamning limit nuqtasi bo’lib, bo’lsa, u holda da murakkab funksiya limitga ega va bo’ladi.
2>1>0>
Do'stlaringiz bilan baham: |