Mavzu -11: R, L va s elementlarni ketma-ket ulangan sinusoidal tok zanjirlari. Maqsad

R, L va S elementlarni ketma-ket ulangandagi elektr zanjiri.
47 a -rasmdagi elektr zanjiri aktiv qarshiligi R va induktivligi L bo`lgan induktiv g`altakni va sig`imi S bo`lgan kondensatorni ketma-ket ulanganiga mos keladi. Aktiv qarshilik rezistor qarshiligiga mosdir. R, L va S elementlar elektr zanjirining parametrlari, ya'ni aktiv qarshilik R elektr energiyasini boshqa tur energiyaga aylanishini aktiv (qaytmas) jarayonni xarakterlayodi, induktivlik L va sig`im S - esa qaytariluvchan jarayon bo`lib elektromagnit maydon energiyasiga aylanishini xarakterlaydi.
Manbani u = U_m sint kuchlanishi ta'sirida i tok hosil bo`ladi. Bu tok elektr zanjiri elementlarida -u<sub>R</sub> = Ri aktiv qarshilikli elementda, - u<sub>L</sub> = -e<sub>L</sub> =L di / dt induktiv elementda, u<sub>c</sub> = q/C = 1/C sig`imli elementda kuchlanishlar tushuvini hosil qiladi. Kirxgofning ikkinchi qonuniga asosan berilgan sxema uchun
u = u_R + u_L, + u_c
yoki Ri + L di / dt + 1/C = U_m sin t (12)
(12) tenglamani yechish natijasida i(t) ni topamiz.
O`zgarmas koeffitsiyentli chiziqli differentsial tenglama (12) ning to`liq yechimi bu tenglamani xususiy yechimi va bir jinsli tenglamari umumiy qismi yig`indisi hisoblanadi.
Ri + L di / dt + 1/C = 0 (13)
(13) tenglama R-L-C elementlar ketma-ket ulangan manbani kuchlanishi nol, ya'ni elektr zanjiri qisqa tutashtirilgan bo`lib, tashqaridan elektr energiyasi berilmaydigan holat uchun Kirxgofning ikkinchi qonuniga asosan yozilgan. Bu sharaitdagi tok faqat g`altakni magnit maydon energiyasi va kondensatorning elektr maydon energiyasi tuplangan energiyalari hisobiga bo`lish mumkin. R qarshilikli elementdan tok o`tganda elektr energiyasi issiqlik energiyasiga aylanadi va atrofga tarqaladi. Shuning uchun bir oz vaqtdan keyin bu to`plangan energiyalar tugaydi. Boshqacha aytganda, (13) tenglamani yechish natijasida topilgan tok, ozgina vaqtdan keyin nolga teng bo`ladi.

Bu tokning mavjudlik vaqti, o`tkinchi jarayonning vaqti hisoblanib, zanjirda u asosan sekundning juda kichik ulashlarida hisoblanadi. Chunki bizni turg`unlashgan zanjirni rejimi qiziqtiradi, shuning uchun (12) tenglamani umumiy yechimini izlaymiz. Turg`unlashgan rejim uchun (12) tenglikni xususiy yechimini aniqlaymiz. Bu tenglamani o`ng tomoni sinusoidal funktsiya bo`lgani uchun, xususiy yechimini sinusoidal funktsiya ko`rilishida izlash kerak]

. i = I_m sin (t - )
Funktsiya I (t) to`liq aniqlanadi, agarda tok Im amplitudasi va kuchlanish bilan tok orasidagi fazalar siljish burchagi aniq bo`lsa. Bu kattaliklarni aniqlaymiz.
Oldin ko`rsatib o`tilganidek kuchlanish u = U_m sin (t)
kompleks son ko`rinishida, U<sub>m</sub> e<sup>j(t + u)</sup> = <sub>m</sub> e<sup>jt</sup> toki = I<sub>m</sub> sin (t - ) kompleks son
I<sub>m</sub> e<sup>j(t + i)</sup> = <sub>m</sub> e<sup>jt</sup>
Differentsial tenglama (12) dan kompleks formadagi algebraik tenglamalarga o`tamiz.
R _m ej^t Q jL _m ej^t Q _m G`jC ej<sup>t</sup> q <sub>m</sub> ej<sup>t</sup>
Almashtirishdan keyin
( R + jL + j /C ) <sub>m</sub> = <sub>m</sub> (14)
(34) tenglamani ikkala tomonini 2 bo`lsaq, kompleks haqiqiy qiymatlari uchun o`xshash chiziqli algebraik tenglamaga ega bo`lamiz:
( R + jL + j /C ) = (15)
koeffitsiyent
R + j(L + /C ) = R + j (x_L – x_C) = R + j X = Z (16)
Zanjirni kompleks formadagi to`la qarshiligi hisoblanadi. Haqiqiy tashqil etuvchisi Z to`la qarshilikning R aktiv qarshiligiga, mavxum tashqil etuvchisi zanjir to`la qarshiligining X reaktiv qarshiligiga teng bo`ladi. Reaktiv qarshilik zanjirda induktiv va sig`im qarshiliklarning ayirmasiga teng: x<sub>L</sub> – x<sub>C</sub> = X
(16) hisobga olib (14) va (15) quyidagi ko`rinishda bo`ladi.
Z <sub>m</sub> = <sub>m</sub> Z =
Buyerdan kompleks to`la qarshilik
Z = _m/ _m = _m/ I_m e^{-j } = Z e^{j } (17)
To`la qarshilikning moduli
Z = U<sub>m</sub> / I<sub>m</sub> = U / I (18)
Shunday qilib, (18) va (17) formulalardan zanjirning to`la qarshiligini moduli kuchlanish va tok modullari haqiqiy qiymatlarining nisbatiga, kompleks qarshilikning argumenti esa - kuchlanish va tok vektorlari orasidagi ( fazalar siljish burchagiga teng.
(16) formulaga asosan to`la qarshilik moduli (kattaligi)
(19)
ya'ni, zanjirning to`la qarshiligi aktiv va reaktiv qarshiliklar kvadratlarining yig`indisidan kvadrat ildiz olinganiga teng.
Shunday qilib, (18) dan (13) tenglamadagi i(t) funktsiyani aniqlovchi, tok amplitudasini topish mumkin
I_m= U_m / Z
Endi, agar quyidagi tenglikdan foydalansaq
Z = Z e^{j } = R + j X
(13) ifodadan fazalar siljish burchagini aniqlash mumkin

• 
  = arctg x/ R = arctg (x_L – x_C)/ R = arctg (L + 1 /C)/ R
  

Shunday qilib, burchakning qiymati reaktiv X va aktiv R qarshiliklar munosabatlariga bog`liq. Reaktiv qarshilik qancha katta bo`lsa, shuncha burchak katta bo`ladi.  burchak oldidagi ishora induktiv va sig`im qarshiliklari orasidagi munosabatlarga bog`liq. Agar x<sub>L</sub>>x<sub>C</sub> bo`lsa, u vaqtda (burchak musbat va tokni (13) formuladan aniqlash mumkin, undan ko`rinib turibdiki tok kuchlanishdan faza jihatidan  burchakka orqaga qoldadi. Agar x<sub>L</sub>< x<sub>C</sub> bo`lsa, u vaqtda burchak  manfiy va tok i = I_m sin ( t + ), ya'ni kuchlanishdan  burchakka oldinga ketadi.