Matritsalarni lu va ldu ko‘paytmalarni yoyish va ularning tadbiqlari Reja

Diagоnal matritsalarning хоssasi: Ikkita diagоnal matritsaning yigindisi va ko`paytmasi yana diagоnal matritsadir.
Barcha elementlari birga teng bo‘lgan diagonal matritsa birlik matritsa deyiladi va I harfi bilan belgilanadi.
Istalgan n-tartibli A kvadrat matritsa uchun ushbu tеnglik o‘rinli:
Barcha elementlari nolga teng bo‘lgan ixtiyoriy o‘lchamdagi matritsa nol matritsa deyiladi va   harfi bilan belgilanadi.
matritsada barcha satrlarni mos ustunlar bilan almashtirish natijasida hosil qilingan  matritsa  matritsaning transponirlangan matritsasi deyiladi: 
Agar   bo‘lsa,  matritsa simmetrik, agar  bo`lsa, qiya simmеtrik matritsa dеyiladi. Simmеtrik matritsaning bоsh diagоnalga nisbatan simmеtrik jоylashgan elеmеntlari tеng, qiya simmеtrik matritsaning bunday elеmеntlari esa qarama-qarshidir. Qiya simmеtrik matritsaning barcha diagоnal elеmеntlari nоlga tеng.
Bir xil o‘lchamli  va 



Matritsa deb sonlardan iborat satr va ustunlar hosil qilgan toʻrtburchakka aytiladi. Matritsa elementlari bu matritsani tashkil etuvchi sonlardir.
Misol uchun, A matritsaning 2 ta qatori va 3 ta ustuni bor. yaʼni 5 ga teng.



Agar siz bu maʼlumot bilan hali tanish boʻlmasangiz, ushbu boʻlimni koʻrib chiqing: matritsaga kirish. Shuningdek, quyidagilardan ham xabardor boʻling: skalyar koʻpaytma. Ikki matritsa koʻpaytmasini topish. Masalan, ushbu matritsalarni hisoblang

Skalyarga koʻpaytirish va matritsalarni koʻpaytirish

Matritsalar bilan ishlaganimizda haqiqiy sonni skalyar deb ataymiz.
Skalyarga koʻpaytirish bu haqiqiy son va matritsa koʻpaytmasidir. Bunda matritsaning har bir elementi haqiqiy songa koʻpaytiriladi.
Matritsalarni koʻpaytirish esa ikkita matritsalar koʻpaytmasiga tegishli. Bu mutlaqo oʻzgacha amal. Ancha murakkab boʻlsa-da, qiziqarli! Keling, uni qanday bajarishni oʻrganamiz.
Ikkita tartiblangan sonlar qatorining skalyar koʻpaytmasini topishni tushunish bizga bu izlanishimizda qoʻl keladi, shu bois dastlab shuni oʻrganaylik!
n-lik va skalyar koʻpaytma
Biz (2,5)(2,5)left parenthesis, 2, comma, 5, right parenthesis kabi sonlar juftligi bilan va hattoki (3,1,8)(3,1,8)left parenthesis, 3, comma, 1, comma, 8, right parenthesis singari sonlar uchligi bilan ham tanishmiz.
n-lik buning umumlashganidir. Bu nnn ta sonlarning tartiblangan qatoridir.
Bir xil oʻlchamli ikkita nnn-liklarning skalyar koʻpaytmasini ularning mos sonlari koʻpaytmalarini qoʻshish orqali topishimiz mumkin.
Masalan, ikkita sonlar juftligining koʻpaytmasini topish uchun birinchi koordinatalarni koʻpaytiramiz va ikkinchi koordinatalarini ham koʻpaytirib, natijalarini qoʻshamiz.

Matritsalarni ko`paytirish

satr martitsa va  ustun matritsa bir xil sondagi elementlarga ega bo‘lsin deylik. Bunda   satrning  ustunga ko‘paytmasi quyidagicha aniqlanadi:

ya’ni ko‘paytma matritsalarning mos elementlari ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng bo‘ladi.
Matritsalarni ko‘paytirishning bu qoidasi satrni ustunga ko‘paytirish qoidasi deb yuritiladi.
Ikki matritsani ko‘paytirish amali moslashtirilgan matritsalar uchun kiritiladi.   matritsaning ustunlari soni   matritsaning satrlari soniga teng bo‘lsa,   va   matritsalar moslashtirilgan deyiladi.
Ta’rif.   o‘lchamli  matritsaning   o‘lchamli   matritsaga ko‘paytmasi   deb,  elementi   matritsaning  -satrini  matritsaning  -ustuniga satrni ustunga ko‘paytirish qoidasi bilan, ya’ni
(qo‘shiluvchlari quyidagi sxemada keltirilgan) kabi aniqlanadigan  o‘lchamli  matritsaga aytiladi.
Misollar. Berilgan matritsalarni ko‘paytiring
1.   
2. 
3. 
4. 

5. 
Agar  matritsaning satrlarini bilan va  matritsaning ustularini  bilan belgilansa, u holda matritsalarni ko‘paytirish qoidasini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
.
Matritsalarni ko‘paytirishda  yozuv ikkita bir xil matritsani ko‘paytmasini bildiradi:  Shu kabi 
Misol.   va  bo‘lsin.  ni toping.
Yechish. Matritsa ko‘rinishdagi  funksiyaga o‘tishda  sonli
qo‘shiluvchi  ko‘paytma bilan almashtiriladi, bu yerda  - birlik matritsa


Umuman olganda matritsalarni ko‘paytirish nokommutativ, ya’ni  . Masalan,  o‘lchamli  matritsaning  o‘lchamli  matritsaga  ko‘paytmasi sondan, ya’ni  o‘lchamli matritsadan iborat bo‘lsa,  ko‘paytmasi  - tartibli kvadrat matritsa bo‘ladi.

Bir xil tartibli  va  kvadrat matritsalar uchun  bo‘lsa,  va  matritsalar kommutativ matritsalar,  ayirma esa kommutator deyiladi.

Misol. matritsalarning kommutatorini toping.



Yechish. 


Ta’rif. Agar tenglik o`rinli bo`lsa, matritsa kvadrat matrtsaning teskari matritsasi deyiladi. Bu yerda matritsa matritsa o`lchami bilan bir xil o`lchamli birlik matritsadir.
Teskari matritsani topishning Gauss-Jordan usulini matritsa uchun umumiy holda koʻrib chiqamiz.
va
Gauss-Jordan usulida matritsadan elementar almashtirishlar yordamida matritsani hosil qilish. Birinchi bosqichda matritsaning diagonal ostidagi elementlarni nollarga aylantiramiz. Buning uchun avval elementni birga aylantirib olamiz, ya’ni matritsaning birinchi satrini ga boʻlamiz va yangi elementlarni , deb belgilaymiz(bu yerda birlik matritsa elementlarini ifodalaydi).

Endi va larni nolga aylantiramiz. Buning uchun , formulalardan foydalanamiz. Natijada quyidagi matritsani hosil qilamiz:

Yuqoridagi jarayonni 2-satr uchu takrorlaymiz, ya’ni ikkinchi satrni ga boʻlamiz. Hosil boʻlgan elementlarni , deb belgilaymiz
.
Soʻngra elementni nolga aylantiramiz, buning uchun , formulalardan foydalanamiz. Natijada,

hosil boʻladi. Ikkinchi bosqichda bu jarayonni 3-satrdan boshlanadi va diagonalning yuqori qismi nolga aylantiriladi.
3-misol. Gauss-Jordan usulida matritsaning teskari matritsasini toping.
Yechish. Matritsani birlik matritsaga toʻldiramiz
.
Birinchi satrni -4 ga va -9 ga koʻpaytirib, mos ravishda 2- va 3-satrlarga qoʻshamiz.

Bu yerda qulaylik uchun avval 2-satrni -3ga koʻpaytirib 3-satrga qoʻshib olamiz, soʻngra 2-satrni -2ga boʻlamiz:

Keyingi bosqichda diagonal yuqorisidagi elementlarni nollarga aylantirish bilan shugʻullanamiz. Buning uchun -1 ga va -3/2 ga koʻpaytirib, mos ravishda 1- va 2-satrlarga qoʻshamiz.

Hosil boʻlgan matritsaning 2-satrini -1ga koʻpaytirib 1- -satriga qoʻshamiz.

Natijada, .
Savol: Teskari matritsani har doim aniqlash mumkinmi? Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss-Jordan usulini oʻrganing.
Quyida biz kvadrat matritsalarni LU va LDU koʻpaytmalarga yoyish bilan shugʻullanamiz, bu yerda L – quyi uchburchak matritsa, U–yuqori uchburchak matritsa, D esa diagonal matritsadir.
Avval quyidagi misolni koʻrib chiqamiz.
matritsadan diagonal ostidagi elementni nolga aylantirish uchun uni chapdan ga koʻpaytiramiz.
.
Endi bu matritsani chapdan ga koʻpaytiramiz,

Xuddi shu kabi, kabi yozish mumkin. Bu esa

matritsaning elementini nolga aylantirish uchun uni chap tarafdan matritsaga koʻpaytirgandik, matritsaning diagonal ostidagi elementlarini nolga aylantirish uchun uni chap tarafdan ketma- ket , va koʻpaytirish kifoya, ya’ni

Bu tenglikni chap tarafdan ga koʻpaytiramiz:
,
Xuddi sha kabi, va koʻpaytiramiz va natijada,

ifodani hosil qilamiz. Bu yerda matritsaning diagonaldan yuqoridagi elementlar nol ekanini e’tiborga olsak,

Oxirgi tenglikdagi U matritsani xuddi yuqoridagi kabi D diagonal matritsa va U matritsaning koʻpaytmasi shaklda ifodalash mumkin, faqat bu yerdagi yuqori uchburchak matritsaning bosh diagonal elementlari birlardan iboratdir.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Gelfand I.M. Chiziqli algebra bo'yicha ma'ruzalar. - 5. - M .: Dobrosvet, MTsNMO, 1998 .-- 319 b. - ISBN 5-7913-0015-8.
   
2. 
   A. I. Kostrikin, Yu. I. Manin Chiziqli algebra va geometriya. - M .: Nauka, 1986 .-- 304 b.
   

Foydalanilgan saytlar:

1. 
   htttps//Bodrenko.com
   
2. 
   https://mywordworld.ru
   
3. 
   https://fayllar.org