Matritsalar

1-Ma’ruza: Matrisalar. Matritsalar ustida amallar
1. Matrisalar.

Matritsa sonlardan tuzilgan to‘g‘ri burchakli jadval. Ko‘pincha ma’lumotlarni to‘g‘ri burchakli jadval ko‘rinishda joylashtirishga to‘g‘ri keladi. Masalan, agar uchta zavod beshta xar xil turdagi maxsulot chiqarayotgan bo‘lsa, u holda yillik ishlab chiqarish xaqidagi hisobot ushbu

Jadval ko‘rinishida berilishi mumkin, bu yerda bilan i-nchi zavod tomonidan yil davomida ishlab chiqarilgan j-turdagi mahsulot miqdori belgilanadi, qisqacha . Agar kelgusi yil davomida maxsulot assortimenti o‘zgargan bo‘lsa, u holda ikkinchi yil uchun ishlab chiqarish hisoboti ham matritsa ko‘rinishida bo‘ladi. Unda ikki yillik mahsulot chiqarish matritsa bilan ifodalanadi [1].

Mahsulot chiqarishni donalarda, metrlarda, tonnalarda, so‘mlarda va x.k. ifodalab matritsalar tuzish mumkin.

Tаyanch tushunchаlаr

Mаtrisа, mаtrisаning o‘lchаmi, mаtrisаning dеtеrminаnti, mахsus mаtrisа, mахsusmаs mаtrisа, bоsh diаgоnаl, diаgоnаl mаtrisа, birlik mаtrisа, trаnspоnirlаngаn mаtrisа, tеng mаtrisаlаr, mаtrisаlаrning yig‘indisi,mаtrisаni sоngа ko‘pаytirish, mаtrisаlаr ko‘pаytmаsi,mаtrisаning k-tаrtibli minоri, mаtrisаning rаngi, elеmеntаr аlmаshtirishlаr,tеskаri mаtrisа.

m ta satrli va n ta ustunli to‘g‘ri to‘rtburchak shaklida berilgan mx^.n ta sonlardan tuzilgan ushbu ifoda m x n o‘lchovli matritsa deb ataladi. Matritsani tashkil qilgan sonlar uning elementlari deyiladi va a_ij deb belgilanadi, bunda .

Matritsalar lotin alfavitidagi bosh harflar bilan belgilanadi, ba’zida ko‘rinishlarda ham belgilanadi. n=1 bo‘lganda ustun matritsa deb ataladi

m=1 bo‘lganda yo‘l (satr) matritsa deb ataluvchi matritsaga ega bo‘lamiz.

m=n bo‘lganda hosil bo‘lgan matritritsa kvadrat matritsa deyiladi:

Kvadrat matritsaning elementlaridan tuzilgan determinantni yoki_A deb belgilanadi. Agar bo‘lsa, u holda A matritsa xos yoki maxsus matritsa, bo‘lsa xosmas yoki maxsus masmatritsa deyiladi. Kvadrat matritsani elementlari joylashgan diagonali bosh diagonal, diagonali esa yordamchi diagonal deyiladi.

Bosh diagonali 1 lardan, qolgan elementlari nollardan tuzilgan matritsani birlik matritsa deyiladi va E bilan belgilanadi:

Barcha elementlari nollardan iborat matritsani nol matritsa deyiladi va Q bilan belgilanadi:

matritsa satr elementlarini mos ustun elementlari o‘rinlarini almashtirib yozsak, transponirlangan matritsa hosil bo‘ladi [6]. Misol uchun

Bu tushuncha uchun quyidagi xossal o‘rinli:

Matritsa minorining noldan farqli eng katta darajasi, matritsaning rangi deyiladi va kabi belgilanadi [3].

Misol. Matritsani rangini toping

Echish. Ma’lumki bu matritsaning barcha 3-tartibli minorlari nolga teng. Noldan farqli 2-tatibli minori bor

Demak r(A)=2.

Matritsa rangini xossalari:

1. 
   Matritsani transponirlasak rangi o‘zgarmaydi.
   
2. 
   Matritsaning noldan iborat qatorini o‘chirib tashlansa, matritsaning rangi o‘zgarmaydi.
   

Endi matritsalar ustida amallar bilan tanishamiz.

2. Matritsalarni qo‘shish va ayrish.

Ikkita bir xil o‘lchovli matritsalarning mos elementlari yig‘indilari (ayirmalari)dan tuzilgan uchinchi matritsani berilgan matritsalarning yig‘indisi (ayirmasi) deyiladi:

va

Misol; A+B=?

j;

3. Matritsani songa ko‘paytirish.

A matritsa bilan  sonning ko‘paytmasi A deb A matritsaning har bir elementini  soniga ko‘paytirish natijasida hosil bo‘lgan matritsaga aytiladi. Misol:

Matritsalarni qo‘shish va songa ko‘paytirishning ushbu xossalari to‘g‘riligini tekshirish uncha qiyinchilik tug‘dirmaydi:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

Bunda A, B, S – matritsalar, - sonlar ,Q – nol matritsa.

4. Matritsani matrisaga ko‘paytirish.

mxk o‘lchovli A matritsaning kxn o‘lchovli B matritsa bilan ko‘paytmasi deb, mxn o‘lchovli shunday C matritsaga aytiladiki, uning har bir C_ij elementi A matritsa i-satri elementlarini B matritsa j-ustunining mos elementlariga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng, ya’ni:

C=A^.B deb ko‘paytmasi belgilanadi. Ta’rifdan ikki matritsaning ko‘paytmasi mavjud bo‘lishi uchun birinchi matritsaning ustunlari sonii kkinchi matritsaning satrlari soniga teng bo‘lishi kerakligi kelib chiqadi. Shuningdek, A^.B mavjud bo‘lganda B^.A umuman mavjud bo‘lmasligi mumkinligini ko‘rish mumkin. Demak, umuman olganda A^.BB^.A ekanligini ko‘ramiz [10]. Misol:

Matritsalar ko‘paytmasi uchun ushbu xossalarning o‘rinliligini ko‘rish mumkin:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

Bunda A, B, C – matritsalar, Q – nol matritsa, E-birlik matritsa, - ixtiyoriy son.