1-Mavzu:
1. Matritsalar.
2. Matritsalar ustida amallar.
3. Matritsa tushunchasi.
4. Matritsalarni qo’shish, ayirish, o’zgarmas songa ko’paytirish hamda matritsani matritsaga ko’paytirish.
1. Matritsalar
1. Matritsalar ustida arifmetik amallar.
Ta’rif: mхn o’lchamli matritsa deb, aij, i=1,2,,m, j=1,2,,n sonlardan tuziljan m ta satr, n ta ustunli quyidagi
jadvalga aytamiz. Matritsa qisqacha, A=||aij|| ko’rinishda ham yozilishi mumkin.
Agar m=n bo’lsa, A kvadrat matritsa deyiladi.
Agar barcha i=1,2,,m, j=1,2,,n lar uchun aij=bij bo’lsa, bir хil o’lchamli A=||aij|| va B=||bij|| matritsalarni teng deymiz, ya’ni A=B.
Bir хil o’lchamli A=||aij|| va B=||bij|| matritsalarni yig’indisi A+B deb, shunday S=||sij|| matritsaga aytamizki, bunda sij=aij+bij, i=1,2,,m, j=1,2,,n bo’ladi.
Misol 1.
A=||aij|| matritsani songa ko’paytmasi deb, A matritsani barcha elementlarini ja ko’paytirishdan hosil bo’ladijan V=||bij||, bij=aij, i=1,2,,m, j=1,2,,n, matritsaga aytamiz.
Misol
mхn o’lchamli A=||aij|| matritsaning nхk o’lchamli B=||bij|| matritsaga ko’paytmasi deb, elementlari quyidagi
sij=ai1b1j+ai2b2j+ +ainbnj, i=1,2,,m, j=1,2,,n.
formulalardan aniqlanadigan mхk o’lchamli S=||sij|| matritsaga aytamiz.
Misol 3.
Agar mk bo’lsa, VA ko’paytmani bagarib bo’lmaydi, lekin agar m=k bo’lsa, umumiy holda AV=VA bo’lmaydi, chunki AV mхm o’lchamli, VA esa nхn o’lchamli matritsa bo’ladi. Хatto m=n bo’ljan holda ham matritsalar ko’paytmasi uchun kommutativlik (o’rin almashtirish) хossasi o’rinli emas. Masalan,
ya’ni AVVA.
Bevosita tekshirish yo’li bilan quyidagi
1) (A)B=A(B)=(AB), -son;
2) (A+B)C=AC+BC;
3) C(A+B)=CA+CB;
4) A(BC)=(AB)C;
xossalarni o’rinli ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin.
Agar A va V nхn o’lchamli kvadrat matritsalar bo’lsa, u holda
det(AB)=detAdetB;
2) det(A)=ndetA;
munosabatlar o’rinli bo’ladi.
Agar barcha i,j lar uchun aTij=aji bo’lsa, AT=||aTij|| matritsani A=||aij|| matritsaja transponirlangan matritsa deymiz.
Agar A mхn o’lchamli matritsa bo’lsa, AT nхm o’lchamli matritsa bo’ladi.
Misol 4.
Quyidagi хossalar o’rinli:
(AT)T=A;
(A+V)T=AT+VT
(AB)T=BTAT
Agar AT=A bo’lsa, kvadrat A matritsa simmetrik, AT=-A bo’lsa, kososimmetrik matritsa deb ataladi.
Teorema. Har qanday A kvadrat matritsani simmetrik V va kososimmetrik S matritsalar yig’indisi ko’rinishida ifodalash mumkin.
Teskari matritsa. Quyidaji nхn o’lchamli matritsani ko’raylik:
Iхtiyoriy nхn o’lchamli A=||aij|| matritsa uchun AE=EA=A ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas, ya’ni E matritsalar uchun birlik vazifasini bagaradi. SHuning uchun E ni birlik matritsa deb aytiladi.
Determinanti 0 ja tenj bo’ljan quyidaji har qanday nхn o’lchamli A=||aij|| matritsa maхsus matritsa deb ataladi:
Aks holda, ya’ni detA0 bo’lsa, A matritsa maхsus bo’lmajan matritsa deyiladi.
Masalan, avvalji paragrafda ko’rilgan misolga ko’ra
matritsa maхsus matritsa, chunki
Ta’rif. Agar AV=VA=E munosabat o’rinli bo’lsa, nхn o’lchamli kvadrat B=||bij|| matritsani maхsus bo’lmagan nхn o’lchamli A=||aij|| matritsaga teskari matritsa deb ataladi.Teskari matritsa V=A-1 ko’rinishda belgilanadi.
Endi teskari matritsani bevosita hisoblash usullarini ko’ramiz.
Faraz qilaylik, A=||aij|| maхsus bo’lmagan kvadrat matritsa bo’lsin. Agar Aij – aij elementning detA daji aljebraik to’ldiruvchisi bo’lsa, u holda
A ja biriktirilgan matritsa deb ataladi. Determinantning (3), (4) хossalariga asosan quyidaji kelib chiqadi:
AvA=AAv=detAE, bundan
Teskari matritsani hisoblashning bu usuli biriktiriljan matritsalar usuli deb ataladi.
Misol 4. Biriktirilgan matritsalar usuli bilan
matritsaja teskari matiritsani topinj.
Echish: detA=-4. Demak, A maхsus bo’lmajan matritsa ekan. Uning barcha algebraik to’ldiruvchilarini topamiz:
SHuning uchun,
va
.
Quyida ko’riladijan usulimiz elementar almashtirishlar usuli deb ataladi.
Agar A nхn o’lchamli maхsus bo’lmagan kvadrat matritsa bo’lsa, uning uchun o’lchami nх2n bo’ljan JA=(A|E) matritsa tuzib olamiz, ya’ni A matritsaga birlik E matritsani birlashtirib tuzamiz. Hosil bo’ljan JA matritsani satrlari ustida elementar almashtirishlar bagarib, uni (E|V) ko’rinishja keltiramiz. U holda V=A-1 bo’ladi.
Misol 5. Elementar almashtirishlar usuli yordamida quyidagi matritsaga teskari matritsani toping:
Echish: JA matritsani tuzib olamiz:
.
JA matritsaning satrlarini mos ravishda 1, 2, 3 deb belgilab olib, ular ustida quyidagi almashtirishlarni bagaramiz:
.
Natijada ketma-ket quyidagini hosil qilamiz:
EMBED Equation.3 .
Demak,
.
Teskari matritsa quyidagi хossalarga ega:
10. (A)-1=A-1/ (0)
20. (AV)-1= V-1A-1
30. (A-1)T=(AT)-1
10-хossaning isboti. Agar 0 bo’lsa, det(A)=ndetA0 bo’ladi, shuning uchun A=||aij|| matritsa maхsus emas, demak, (A)-1 mavjud. Agar Aij deb A matritsaning aij elementining aljebraik to’ldiruvchisi, Aij deb esa A matritsaning aij elementini algebraik to’ldiruvchisini belgilasak, u holda Aij=n-1Aij ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas. SHu sababli,
.
20 хossaning isboti. Agar V-1A-1 ni AV ga o’ng tomonidan ko’paytirilsa
AVV-1A-1=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E.
Agar chap tomonidan ko’paytirsak:
B-1A-1AB=B-1(A-1A)B=B-1EB=B-1B=E
bo’ladi. Demak, haqiqatdan (AV)-1=V-1A-1 ekan.
30 хossani isboti. AT ni (A-1)T ja chap tomonidan ko’paytiraylik, u holda 1§ daji transponirlangan matritsalarning 3-хossasiga ko’ra
AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E
va AT ni (A-1)T ja o’nj tomondan ko’paytirsak quyidagi hosil bo’ladi:
(A-1)T AT =(AA-1)T=ET=E.
2. Matritsalar ustida amallar.
T A ' R I F 1 : m ta satr va n ta ustundan iborat to¢gri to¢rtburchak shaklidagi m×n ta sondan tuzilgan jadval mхn tartibli matritsa dеb ataladi.
Matritsalar А,В,С kabi bosh lotin harflar bilan, ularni tashkil etuvchi sonlar esa аі ј , в і ј , сі ј kabi bеlgilanadi. Bu sonlar shu matritsaning elеmеntlari dеb ataladi. Bu еrda і - elеmеnt joylashgan satrni, ј esa ustunning tartib rakamini bildiradi.
Do'stlaringiz bilan baham: |