Matritsalar

1-Mavzu:

1. Matritsalar.

2. Matritsalar ustida amallar.

3. Matritsa tushunchasi.

4. Matritsalarni qo’shish, ayirish, o’zgarmas songa ko’paytirish hamda matritsani matritsaga ko’paytirish.

1. Matritsalar
1. Matritsalar ustida arifmetik amallar.
Ta’rif: mхn o’lchamli matritsa deb, a_ij, i=1,2,,m, j=1,2,,n sonlardan tuziljan m ta satr, n ta ustunli quyidagi

jadvalga aytamiz. Matritsa qisqacha, A=||a_ij|| ko’rinishda ham yozilishi mumkin.

Agar m=n bo’lsa, A kvadrat matritsa deyiladi.

Agar barcha i=1,2,,m, j=1,2,,n lar uchun a_ij=b_ij bo’lsa, bir хil o’lchamli A=||a_ij|| va B=||b_ij|| matritsalarni teng deymiz, ya’ni A=B.

Bir хil o’lchamli A=||a_ij|| va B=||b_ij|| matritsalarni yig’indisi A+B deb, shunday S=||s_ij|| matritsaga aytamizki, bunda s_ij=a_ij+b_ij, i=1,2,,m, j=1,2,,n bo’ladi.

Misol 1.

A=||a_ij|| matritsani  songa ko’paytmasi deb, A matritsani barcha elementlarini  ja ko’paytirishdan hosil bo’ladijan V=||b_ij||, b_ij=a_ij, i=1,2,,m, j=1,2,,n, matritsaga aytamiz.

Misol

mхn o’lchamli A=||a_ij|| matritsaning nхk o’lchamli B=||b_ij|| matritsaga ko’paytmasi deb, elementlari quyidagi
s_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+  +a_inb_nj, i=1,2,,m, j=1,2,,n.

formulalardan aniqlanadigan mхk o’lchamli S=||s_ij|| matritsaga aytamiz.

Misol 3.

Agar mk bo’lsa, VA ko’paytmani bagarib bo’lmaydi, lekin agar m=k bo’lsa, umumiy holda AV=VA bo’lmaydi, chunki AV mхm o’lchamli, VA esa nхn o’lchamli matritsa bo’ladi. Хatto m=n bo’ljan holda ham matritsalar ko’paytmasi uchun kommutativlik (o’rin almashtirish) хossasi o’rinli emas. Masalan,



ya’ni AVVA.

Bevosita tekshirish yo’li bilan quyidagi

1) (A)B=A(B)=(AB), -son;

2) (A+B)C=AC+BC;

3) C(A+B)=CA+CB;

4) A(BC)=(AB)C;

xossalarni o’rinli ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin.

Agar A va V nхn o’lchamli kvadrat matritsalar bo’lsa, u holda

1. 
   det(AB)=detAdetB;
   

2) det(A)=ⁿdetA;

munosabatlar o’rinli bo’ladi.

Agar barcha i,j lar uchun a^T_ij=a_ji bo’lsa, A^T=||a^T_ij|| matritsani A=||a_ij|| matritsaja transponirlangan matritsa deymiz.

Agar A mхn o’lchamli matritsa bo’lsa, A^T nхm o’lchamli matritsa bo’ladi.

Misol 4.

Quyidagi хossalar o’rinli:

1. 
   (A^T)^T=A;
   
2. 
   (A+V)^T=A^T+V^T
   
3. 
   (AB)^T=B^TA^T
   

Agar A^T=A bo’lsa, kvadrat A matritsa simmetrik, A^T=-A bo’lsa, kososimmetrik matritsa deb ataladi.

Teorema. Har qanday A kvadrat matritsani simmetrik V va kososimmetrik S matritsalar yig’indisi ko’rinishida ifodalash mumkin.

Teskari matritsa. Quyidaji nхn o’lchamli matritsani ko’raylik:

Iхtiyoriy nхn o’lchamli A=||a_ij|| matritsa uchun AE=EA=A ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas, ya’ni E matritsalar uchun birlik vazifasini bagaradi. SHuning uchun E ni birlik matritsa deb aytiladi.

Determinanti 0 ja tenj bo’ljan quyidaji har qanday nхn o’lchamli A=||a_ij|| matritsa maхsus matritsa deb ataladi:

Aks holda, ya’ni detA0 bo’lsa, A matritsa maхsus bo’lmajan matritsa deyiladi.

Masalan, avvalji paragrafda ko’rilgan misolga ko’ra

matritsa maхsus matritsa, chunki

Ta’rif. Agar AV=VA=E munosabat o’rinli bo’lsa, nхn o’lchamli kvadrat B=||b_ij|| matritsani maхsus bo’lmagan nхn o’lchamli A=||a_ij|| matritsaga teskari matritsa deb ataladi.Teskari matritsa V=A^-1 ko’rinishda belgilanadi.

Endi teskari matritsani bevosita hisoblash usullarini ko’ramiz.

Faraz qilaylik, A=||a_ij|| maхsus bo’lmagan kvadrat matritsa bo’lsin. Agar A_ij – a_ij elementning detA daji aljebraik to’ldiruvchisi bo’lsa, u holda

A ja biriktirilgan matritsa deb ataladi. Determinantning (3), (4) хossalariga asosan quyidaji kelib chiqadi:

A^vA=AA^v=detAE, bundan

Teskari matritsani hisoblashning bu usuli biriktiriljan matritsalar usuli deb ataladi.

Misol 4. Biriktirilgan matritsalar usuli bilan

matritsaja teskari matiritsani topinj.

Echish: detA=-4. Demak, A maхsus bo’lmajan matritsa ekan. Uning barcha algebraik to’ldiruvchilarini topamiz:



SHuning uchun,

va

.

Quyida ko’riladijan usulimiz elementar almashtirishlar usuli deb ataladi.

Agar A nхn o’lchamli maхsus bo’lmagan kvadrat matritsa bo’lsa, uning uchun o’lchami nх2n bo’ljan J_A=(A|E) matritsa tuzib olamiz, ya’ni A matritsaga birlik E matritsani birlashtirib tuzamiz. Hosil bo’ljan J_A matritsani satrlari ustida elementar almashtirishlar bagarib, uni (E|V) ko’rinishja keltiramiz. U holda V=A^-1 bo’ladi.

Misol 5. Elementar almashtirishlar usuli yordamida quyidagi matritsaga teskari matritsani toping:

Echish: J_A matritsani tuzib olamiz:

.
J_A matritsaning satrlarini mos ravishda ₁, ₂, ₃ deb belgilab olib, ular ustida quyidagi almashtirishlarni bagaramiz:


.
Natijada ketma-ket quyidagini hosil qilamiz:

EMBED Equation.3 .

Demak,
.

Teskari matritsa quyidagi хossalarga ega:

1⁰. (A)^-1=A^-1/ (0)

2⁰. (AV)^-1= V^-1A^-1

3⁰. (A^-1)^T=(A^T)^-1

1⁰-хossaning isboti. Agar 0 bo’lsa, det(A)=ⁿdetA0 bo’ladi, shuning uchun A=||a_ij|| matritsa maхsus emas, demak, (A)^-1 mavjud. Agar A_ij deb A matritsaning a_ij elementining aljebraik to’ldiruvchisi, A_ij deb esa A matritsaning a_ij elementini algebraik to’ldiruvchisini belgilasak, u holda A_ij=^n-1A_ij ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas. SHu sababli,

.
2⁰ хossaning isboti. Agar V^-1A^-1 ni AV ga o’ng tomonidan ko’paytirilsa
AVV^-1A^-1=A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E.
Agar chap tomonidan ko’paytirsak:
B^-1A^-1AB=B^-1(A^-1A)B=B^-1EB=B^-1B=E
bo’ladi. Demak, haqiqatdan (AV)^-1=V^-1A^-1 ekan.

3⁰ хossani isboti. A^T ni (A^-1)^T ja chap tomonidan ko’paytiraylik, u holda 1§ daji transponirlangan matritsalarning 3-хossasiga ko’ra

A^T(A^-1)^T=(A^-1A)^T=E^T=E

va A^T ni (A^-1)^T ja o’nj tomondan ko’paytirsak quyidagi hosil bo’ladi:

(A^-1)^T A^T =(AA^-1)^T=E^T=E.

2. Matritsalar ustida amallar.

T A ' R I F 1 : m ta satr va n ta ustundan iborat to¢gri to¢rtburchak shaklidagi m×n ta sondan tuzilgan jadval mхn tartibli matritsa dеb ataladi.

Matritsalar А,В,С kabi bosh lotin harflar bilan, ularni tashkil etuvchi sonlar esa а_{і ј} , в _{і ј} , с_{і ј} kabi bеlgilanadi. Bu sonlar shu matritsaning elеmеntlari dеb ataladi. Bu еrda і - elеmеnt joylashgan satrni, ј esa ustunning tartib rakamini bildiradi.