Mathcad dasturida differensial tenglamalar yechish Oddiy differensial tenglama

Yechish. Berilgan misolni Mathcad matematik paketi yordamida sonli yechish dasturi matni va uning natijalari quyidagicha:

2. 
   misol. Ushbu
   

y^ 2x²  2 y
oddiy differensial tenglamanining y(0) = 1 boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini [0;1] kesmada h=0,05 qadam bilan Runge- Kutta usuli yordamida yechin, hisob dasturini Mathcad matematik paketida bajaring.
Yechish. Berilgan misolni Mathcad matematik paketi yordamida sonli yechish dasturi matni va uning natijalari quyidagicha:

Bitta koordinatali tizimda x² y² aylana va y x 1 to‘g‘ri chiziq quraylik.
Biz birinchi navbatda y o‘zgaruvchini x²y²doira tenglamasidan ifodalaymiz: y: . Biz o‘zgaruvchan x o‘zgaruvchidan foydalanamiz. 0.01 qadam (agar biz kattaroq qadam tashlasak, chiziq aylanasi yetarlicha silliq bo‘lmasligi mumkin): , , funksiyalarini belgilaylik. Keling, f1, f2, f3 Funksiyalarini vergul bilan ajratilgan shablonning chap qora kvadratiga kiritamiz. Barcha uchta f1, f2, f3 Funksiyalari bitta o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgani uchun, quyi qora kvadratda x o‘zgaruvchini bir marta ko‘rsatish kifoya.
f1, f2 funksiyalarining hosil bo‘lgan grafiklari har xil rang va chiziqda tasvirlangan turlari. Keling, ularni xuddi shunday qilaylik. Buni amalga oshirish uchun " Traces " yorlig‘idagi jadvalni formatlash oynasida, " Legend Label " ustunidan, f2 funksiyasi grafigiga mos keladigan, ikkinchi chiziq trace-2 ni tanlang. Line (chiziq turi) va Color (rang) ustunlarini f1 funksiyasi grafigi bilan bir xil qiymatlarga o‘rnating (trace-1ni ko‘ring), ya'ni qiymatlar mos ravishda yashil va qizil ranglarni o‘zgartirgandan so‘ng, biz 1-rasmda ko‘rsatilgan natijani olamiz.

1 -rasm.
Tenglamalar sistemasi yechimlari sonini aniqlang.

Masalani yechish uchun va funksiyalarning grafiklarini bitta koordinata tizimida tuzamiz. Keling, ikkinchi funksiyaga e’tibor qarataylik, uning argumenti y o‘zgaruvchisidir va qaram o‘zgaruvchi -x. 2-rasmga muvofiq funksiyalar grafigini tuzish uchun shablonni to‘ldiring. (koordinata o‘qlarining o‘zgarishi qiymatlari eng aniq ravshanlik shartidan tanlanadi). Funksiyalar grafigining ikkita umumiy nuqtasi bo‘lgani uchun, asl tenglamalar sistemasida ikkita yechim bo‘ladi.

2 -rasm.
[-5, 5] segmentida argumentni 0,1 ga o‘zgartirish qadamini qo‘yib,
funksiyasini tuzing. Xuddi shu shablon yordamida x1=-0,5 nuqtada hosil bo‘lgan grafigiga kesish chizig‘ini quring. Namuna bilan solishtiring (3 -rasm).

3-rasm.
x1 o‘zgaruvchining qiymatini o‘zgartirib, asl funksiyani oshirish va pasayish oralig‘ining turli nuqtalarida kesish burchagi xatti-harakatidagi o‘zgarishlarni o‘rganing.
Mathcad yordamida chiziqli bo‘lmagan tenglamalar tizimini yechish usullarini ko‘rib chiqing.
Juda oddiy tenglamalar tizimlari uchun (shu qatorda chiziqli) tenglamalarni Berilgan topilmasi yordamida belgili shaklda olish mumkin. Buning uchun Given kalit so‘zini yozamiz. Keyin biz tizimning tenglamalarini kiritamiz va tenglamalarning ikkala tomoni ham "qalin" tenglik belgisi bilan bog‘langan bo‘lishi kerak.
Biz find funksiyasini yozamiz va uning argumentlarini belgilaymiz, ular asl tizimning noma’lum o‘zgaruvchilari. Biz to‘plamni ramziy konvertatsiya belgisi bilan to‘ldiramiz. Natijada, biz yechim matritsasini (yoki vektorini) olamiz, uning ustunlari asl tizimdagi noma’lumlarning qiymatini aniqlaydi va ularning tartibi (yuqoridan pastgacha sanash) ular paydo bo‘lish tartibiga mos keladi. topish funksiyasi. Agar biz ramziy yechimdan keyin teng belgini qo‘yadigan bo‘lsak, unda biz sonli yechimni olamiz.
4-rasmda asl tizimda ikkita yechim bor: x 0.814, y0.814 va x 1.228, y 1.228.

4-rasm chiziqli bo‘lmagan tenglamalar tizimining yechimi
Chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasining ramziy yechimiga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo‘lish kerak. Tenglamalar tizimining biroz murakkablashuvi bilan, bunday yechim to‘liq bo‘lmasligi mumkin (5 -rasm).

Mathcad tizimi bitta ildizni oldi, lekin funksiyalar grafikasi ikkita yechim bo‘lishi kerakligini ko‘rsatadi.

5-rasm. Tenglamalar tizimining belgili yechimini ko‘rsatadi.
Yo‘qolgan yechimlarni topish yoki tenglama tizimlari murakkabroq bo‘lsa, ularni raqamli yechish mumkin. Bu yechim, shuningdek, Given find konstruktsiyasidan foydalanadi va shakli noma'lum bo‘lgan tengsiz tenglamalarni yechishga o‘xshaydi. Birinchidan, boshlang‘ich yaqinlashuv o‘rnatiladi, shundan so‘ng tizim tenglamalari Berilgan kalit so‘zidan boshlanadigan yechim blokiga joylashtiriladi. Xuddi shu joyda siz kerakli yechim qondirishi kerak bo‘lgan tengsizliklarni belgilashingiz mumkin (tengsizlik belgilari mantiqiy paneldan olinishi kerak).
Yechim bloki find funksiyasi bilan tugaydi, undan keyin tenglik belgisi qo‘yiladi. Natijada berilgan aniqlikka mos keladigan taxminiy yechim vektori bo‘ladi.
Optimallashtirish masalalari yechimi f (x1 funksiyasi uchun x1, .., xn o‘zgaruvchilarning qiymatlarini topish uchun. , .., xn) maksimal yoki minimal qiymatga ega, siz Maksimallashtirish (f, x1, .., xn) va Minimallashtirish (f, x1, .., xn) funksiyalaridan foydalanishingiz mumkin.
Bu funksiyalardan foydalanilganda birinchi taxminiy taxmin birinchi bo‘lib o‘rnatiladi. Buning ortidan Given so‘zi bilan ochiladigan qarorlar bloki keladi. Blok ichida tenglik yoki tengsizlik ko‘rinishidagi turli cheklovlar bo‘lishi mumkin, ularning soni faqat kompyuter xotirasi bilan cheklangan. Minimallashtirish funksiyasidan foydalanishning misoli.

Quyidagi misol berilgan uchburchakda funksiyaning maksimal qiymatini topishni ko‘rsatadi.

Minimallashtirish va maksimallashtirish. funksiyalari chiziqli dasturlash muammolarini hal qilish uchun ishlatilishi mumkin:

Berilgan funksiya hosilasini hisoblash.
Mathcadning hosila operatori berilgan nuqtada funksiya hosilasining miqdoriy qiymatini topish uchun mo’ljallangan. Masalan x³ ning x=2 nuqtada x bo’yicha hosilasini topish uchun quyidagilarni bajaring:
avval hosilani topish kerak bo’lgan nuqtani kiritish kerak. x:=2;
hosila operatorini operatorlar palitrasidan yoki [?] klavishasini bosish bilan hosil qiling. ko’rinishda hosil bo’ladi;
maxrajdagi bo’sh joyga o’zgaruvchini kiriting. ;
qolgan bo’sh joyga esa ifodani kiriting. ;
= belgisini bosing natijada hosil bo’ladi.
Xuddi shu tartibda funksiya n- darajali hosilasining biror nuqtadagi miqdoriy qiymati ham hisoblanadi va o’zgaruvchining diskret qiymatlarida ham funksiya hosilasining qiymatlarini hisoblash mumkin. [Ctrl] ? klavishalarini bosing va yuqoridagi tartibda bo’sh joylarni to’ldiring. Quyida bunga doir misollar keltirilgan.

Shuni esda saqlash kerakki, differensiallash natijasida funksiyani hosilasi emas balki uning hosilasinig biror nuqtadagi qiymatini qaytaradi.bundan tashqari biror bir funksiyani boshqa bir funksiyaning hosilasi ko’rinishida aniqlash mumkin. Masalan bu metod funksiyani ketma-ket nuqtalarda hisoblash uchun qo’llaniladi.