Математикалық физиканың теңлемелерин классификациялаў Теӊлемениӊ типлери. Характеристикалық теңлемеси ҳәм оның шешимлери бойынша берилген теңлемени

Математикалық физиканың теңлемелерин классификациялаў


Теӊлемениӊ типлери. Характеристикалық теңлемеси ҳәм
оның шешимлери бойынша берилген теңлемени
каноникалық түрге алып келиў

Мейли еки өзгериўшили екинши тәртипли дара туўындылы квазисызықлы дифференциаллық теңлемелердиң классификациясын ҳәм олардың каноникалық түри ҳаққындағы мәселени қарастырайық. Усы мақсетте бас ағзаға қарата сызықлы болған

(1)
теңлемени қарастырайық, бул жерде коэффициентлер ҳәм тиң берилген функциялары. (1) теңлемеде кери алмастырыўға ийе болған соныңдай
(2)
белгилеў жасайық, нәтийжеде (1) теңлеме жаңа ҳәм өзгериўшилерге қарата әпиўайы көриниске ийе болсын. Усы мақсетте төмендеги туўындыларды есаплаймыз:
(3)
Туўындылардың бул мәнислерин (1) теңлемеге қойып
(4)
теңлемени аламыз, бул жерде

болса, екинши тәртипли туўындыларға ғәрезли емес. Енди функциясы
(5)
теңлемесиниң дара шешими болсын деп уйғарайық. Егер деп алсақ, онда болады.Демек (2) түриндеги жаңа өзгериўшилерди таңлаў (5) теңлемениң шешимине байланыслы.
Лемма. Егер функциясы (5) теңлемениң дара шешими болса, онда
(6)
дифференциаллық теңлемениң улыўма интегралы болады ҳәм керисинше, егер (6) теңлемениң улыўма интегралы болса, функциясы (5) теңлемениң дара шешими болады.
(6) теңлеме (1) теңлемениң характеристикалық теңлемеси деп, ал оның улыўма интегралы болса характеристикасы деп аталады.
Солай етип, егер (6) теңлемениң улыўма интегралы болса ҳәм деп таңлап алсақ, (4) теңлемедеги ның коэффициенти ди нолге айландырған боламыз. Соныңдай, егер (6) теңлемениң ға байланыслы болмаған басқа улыўма интегралы болса ҳәм деп алсақ, (4) теңлемеде болады.
Бизге белгили, (6) теңлеме төмендеги еки
, (7)
теңлемеге ажыралады, бул жерде . Корень белгиси астындағы ның белгиси (1) теңлемениң типин анықлайды, яғный (1) теңлеме ушын точкада гиперболалық типке жатады деп айтылады.