Matematika”kafedrasi Hasanova Jumagul Alisher qizining 5130100- “Matematika” ta’limyo’nalishibo’yichabakalavr darajasiniolishuchun «chiziqli bir jinsli matritsali differensial tenglamalar va ularni yechish usullari»

§1.2 Chiziqli bir jinsli bo’lmagan vektor-matritsali tenglama.

1. 
   Umumiy yechim haqida. Yuqorida ta’kidlab o’tilgan (3) tenglamani o’rganishga o’tamiz.
   

7-teorema. 

Isbot. Teorema shartiga ko’ra:

bundan,  .

Teorema isbot bo’ldi.

8-teorema (umumiy yechim haqida). 

Isbot.

yechimni olaylik.  bo’lganda ushbu


sistemaga egamiz. Unda  bo’lgani uchun (10) sistema  larga nisbatan bir jinslibo’lmagan chiziqli sistemadir. Uning determinant  Vronskiy determinantidan iborat, u holda ravshanki, . Shuning uchun (10) sistemadan yagona  larni topamiz. Demak,


Bu esa (9) formula umumiy yechim formulasi ekanini isbot etadi. Teorema isbot bo’ldi.

2. O’zgarmaslarni variatsiyalash metodi (Logranj metodi). Agar (3) tenglamaga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ma’lum bo’lsa, u holda bir jinsli bo’lmagan tenglamaning umumiy yechimini topish mumkin. Quyida shu metodning mohiyati bilan tanishamiz.

Aytaylik ,

formulada  lar ixtiyoriy o’zgarmaslar ekani ma’lum. Endi (3) tenglamaning yechimini shunga o’xshash

ko’rinishda izlaymiz. (11) funksiya (3) tenglamaning yechimi bo’lsin deylik. U holda quyidagiga ega bo’lamiz:

Topilgan ifodani (3) ga qo’yamiz:

Bundan  ekanini hisobga olib quyidagiga ega bo’lamiz.

yoki,

Topilgan (12) sistema uchun  bo’lganidan u  larga nisbatan bir jinsli bo’lmagan sistemadan iborat. Uning determinant  Demak, (12) dan  larning yagona ifodalarini topamiz.

Bundan  . Bu ifodani (11) ga qo’yamiz:

bu yerda  lar ixtiyoriy o’zgarmaslardir.

O’zgarmasni variatsiyalash metodining mohiyati ana shundan iborat. Topilgan (13) formulaga diqqat bilan e’tibor bersak, bu formula mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi

bilan bir jinsli bo’lmagan tenglamaning yechimi(xususiy yechimi)

yig’indisidan iborat. Bu funksiya haqiqatdan ham xususiy yechim ekanini ko’rsatish qiyin emas. Buning uchun (3) tenglama ayniyatga aylanishini ko’rsatamiz:

.

Bu sodda hisoblashlar yuqoridagi tasdiqni isbotlaydi.

Misol. Ushbu

sistemani integrallang.

Yechish. Mos bir jinsli sistemaning umumiy yechimi

ko’rinishda yoziladi. Sistemani o’zgarmasni variatsiyalash metodi bilan integral-laymiz. Yechimi

ko’rinishda izlaymiz.  va larni topish uchun ushbu

sistemaga egmiz. Undan  ,  ,  va  ,  kelib chiqadi. Shunday qilib, umumiy yechimni quyidagicha yozamiz: