Matematika yo’nalishi «Noevkilid geometriyaning vujudga kelishi»

Teorema. Lobachevskiy tekisligida uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi turli uchburchaklar uchun turlicha qiymatga ega, ya’ni o’zgaruvchi miqdordir.
Isbot. Faraz qilaylik, barcha uchburchaklar ichki burchaklarining yig’indisi o’zgarmas bo’lsin. (Ravshanki, .) uchburchak­ning (16-chizma) V uchidan o’tuvchi, tomonini nuqtada kesuvchi nur o’tkazsak, farazga asosan,

bo’lib,
.
Demak, yoki . Bu esa yuqoridagi teoremaga zid.
Har qanday to’rtburchakni ikkita uchburchakka ajratish mumkin bo’lgani uchun quyidagi ikki natijani chiqaramiz.

1. 
   Lobachevskiy tekisligida xar qanday to’rtburchak ichki burchaklarining yig’indisi 360° dan kichik bo’lib, bu son hap xil to’rtburchaklar uchun har xildir.
   
2. 
   Lobachevskiy tekisligida burchak kattaliklari bilan chiziqli kattaliklar orasida bog’lanish mavjud.
   

Lobachevskiy tekisligidagi parallel to’g’ri chiziqlar. Lobachevskiy geometriyasi-ning Yevklid geometriyasidan yana bir asosiy farqi tekislikdagi to’g’ri chiziqlarning joylashuvida yuz beradigan yang hollardan iborat. Yevklid geometriyasida bir tekislikda- gi umumiy nuqtaga ega bo’lmagan to’g’ri chiziqlar parallel deyiladi; Lobachevskiy tekisligida esa parallel to’gri chiziqlarni boshqacha ta’riflashga to’g’ri keladi. to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan bilan kesishmaydigan cheksiz ko’p to’g’ri chiziq o’tadi. Demak, markazi nuqtada bo’lgan to’g’ri chiziqlar dastasi ikki sinfga ajraladi. Birinchi sinfga dastannig to’g’ri chiziq bilan kesishadigan barcha to’g’ri chiziqlarini, ikkinchi sinfga esa dastaning qolgan hamma to’g’ri chiziqlarini kiritamiz. (Ravshanki, ikkala sinfda ham cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar mavjud.) nuqtadan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar tushiraylik xamda to’g’ri chiziqda yo’nalishni aniqlab olaylik. , to’g’ri chiziqlar birinchi sinfga tegishlidir. , bo’lsin, ravshanki . nuqta to’g’ri chiziq bo’ylab aniqlangan yo’nalishda xarakatlanib borsa, to’g’ri chiziq doimo birinchi sinfga tegishli bo’lib boraveradi, u holda burchak xam borgan sari kattalashib boraveradi, lekin doimo 90° dan kichikligicha qoladi.
4-chizma
Shunday burchaklar to’plamini deb belgilaylik, u chegaralangan cheksiz to’plam bo’lganligi sababli, aniq yuqori chegaraga egadir. Uchi nuqtada.bir tomoni nurdan iborat burchaknnng ikkinchi tomoni nurni hosnl qiladi. to’g’ri chiziq quyidagi xossalarga ega:
1°. to’g’richiziq bilan kesishmaydn. Haqiqatan ham ularni bi­ror nuqtada kesishadi deb faraz qilsak, to’g’ri chiziqda nuqtadan o’ng tomonda undan farqli nuqtani olib, to’g’ri chiziqni o’tkazsak, to’g’ri chiziq birinchi sinfga tegishli bo’lib, ham ga tegishli bo’ladi, lekin . Bunday bo’lishi mumkin emas, chunki burchak ning aniq yuqori chegarasi.
2°. nuqtadan o’tib, bilan dan kichik burchak hosil qilgan har qanday to’g’ri chiziq bilan kesishadi, chunki bu vaqtda u to’g’ri chiziq birinchi sinfga teshili bo’ladi.
Lobachevskiy yuqoridagi ikki xossaga ega bo’lgan shunday to’gri chiziqni a to’g’ri chiziqqa berilgan yo’nalishda parallel deb ataydi. Demak, Lobachevskiy geometriyasida parallel to’g’ri chiziqlar tushunchasi boshqacha ta’riflanadi: berilgan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqa roppa-rosa ikkita parallel to’g’ri chiziq o’tadi. Bulardan biri bilan bir xil yo’nalishda, ikkinchisi esa qarama-qarshi yo’nalishdadir. Yevklid geometriyasidagi kabi parallel to’g’ri chizilarni bi­lan belgilaymiz.
Xulosa qilib aytish kerakki, Lobachevskiy tekisligidagi to’g’ri chiziqda yotmagan nuqtadan o’tgan barcha to’g’ri chiziqlar ikki sinf­ga ajralib, birinchi sinfga bilan kesishadiganlari, ikkinchi sinfga esa bilan kesishmaydiganlari kiradi; bu ikkinchi sinfga qarashli to’g’ri chiziqlar uzoqlashuvchi deyiladi. Bu ikki sinf to’gri chiziqlarini ajratib turuvchi to’g’ri chiziqlarni ga parallel deb ataymiz. parallellik burchagi, shu burchakka mos parallellik kesmasi deb ataladi.
Endi parallel to’g’ri chiziqlarning ba’zi xossalariga to’xtab o’taylik: parallel to’g’ri chiziqlarga ta’rif berilganda nuqta maxsus rol o’ynagan edi, hozir bu nuqta o’rniga to’g’ri chiziqdagi boshqa nuqtani olsak ham parallellik ta’rifiga xalal etmasligini ko’r- satamiz.
Teorema. Agar nuqtaga nisbatan bo’lsa, u holda to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi uchun xam bo’ladi.
bo’lgani uchun bilan kesishmaydi.
7-teorema. .




5-chizma



6-chizma

7-chizma
Teorema. Ikki to’g’ri chiziqning har biri ma’lum yo’nalishdagi bitta to’g’ri chiziqqa parallel bo’lsa, ular ham shu yo’nalishda o’zaro parallel bo’ladi.
Teorema. Ikki parallel to’g’ri chiziqdan biridagi nuqtadan ikkinchisigacha bo’lgan masofa parallellik yo’nalishi tomon yetarlicha kichiklashib boradi, parallellik yo’nalishiga teskari tomonda esa bu masofa yetarlicha kattalashib boradi (ya’ni parallel to’g’ri chiziqlar parallellik yo’nalishi tomon bir-biriga asimptotik yaqinlashib boradi).
Teorema. Har qanday o’tkir burchakning bir vaqtda bir tomoniga perpendikulyar bo’lib, ikkinchi tomonga parallel to’g’ri chiziq mavjud.
Bu teorema boshqacha quyidagicha ifodalanadi:
Har qanday o’tkir burchak parallellik burchagi bo’la oladi.


XULOSA
Uzluksiz ta’lim tizimida ta’lim sifati va samaradorligini oshirish xozirgi kunning muhim talablaridan biri hisoblanadi. Darsni tashkil etishda zamonaviy yangi pedagogik texnologiyalardan foydalanish, turli faol usullarni qo’llash ijobiy natija beradi. O’quvchilarni darsga bo’lgan qiziqishlarini orttirish maqsadida ularning erkin fikrlash madaniyatiga ega bo’lishlariga ko’mak berish lozim. Agar o’qituvchi va shu bilan birga o’quvchi darsga tayyor bo’lmas ekan hech qanaqa faol usulni qo’llash imkoniyati paydo bo’lmaydi.
Dars davomida tarixiy ma’lumotlardan foydalanish, buyuk matematik olimlar hayoti va ijodidan lavhalar keltirish, ular olgan ilmiy xulosalarning fan va jamiyat rivojlanishi uchun qanchalik katta ahamiyati to’grisida aniq faktlar keltirish o’quvchilarda bilim olishga ishtiyoqni ortishiga sabab bo’ladi.
Sinfdan tashqari mashg`ulotlar uchun mo’ljallangan materiallarni tayyorlashda sinfda o’tiladigan mashg`ulotlarga mos keluvchi ma’lumotlardan foydalanish muhim ahamiyat kasb etadi.
Shu maqsadda ushbu bajarilgan kurs ishi natijalaridan foydalanish mumkin.
Kurs ishi noyevklid Lobachevskiy geometriyasi va uni sodda holda tushunish imkonini beruvchi modellar haqidagi qiziqarli va dolzarb mavzuga bag`ishlandi.
Kurs ishi kirish, uchta bob, yettita paragraf va xulosa qismlari shaklida bajarish rejalashtirildi.
Birinchi bobda Lobachevskiy davrigacha bo’lgan geometriya yo’ritilgan bo’lib, unda qadimgi gretsiyadagi matematikaning rivojlanishi va Yevklidning “Negizlar” asari haqida so’z ketadi.
Ikkinchi bobda noyevklid geometriyalarning yaratilishi, bu geometriyalarni juda kamchilik qabul qilganligi, ana shu kamchilik olimlar qanday qilib bu geometriyalarni boshqalarga tushuntirishi mumkinligi haqidagi muammolar haqida so’z yuritildi. Ana shu kabi harakatlar va izlanishlar mahsuli sifatida dunyoga kelgan, Yevklid geometriyasi doirasida bemalol tushunish imkonini beruvchi modellar haqida ma’lumotlar berildi.
Uchinchi bobda “Puankarening sehrli dunyosi” nomi bilan mashhur bo’lgan model haqida mulohazalar yuritilgan. Ushbu modelni o’rganishdan avval ortogonal aylanalar va ortogonal to’g’richiziqlarni yasash metodikasi, inversiya va inversion almashtirishlar bo’yicha to’liq malumot berib o’tilgan. So’ngra ular yordamida Puankare modeli kiritilgan va ushbu model orqali Lobachevskiy geometriyasi faktlari oddiy tushuntirildi.
Kurs ishi ma’lumotlaridan o’qituvchilar, talabalar va o’quvchilar darsdan tashqari mashg`ulotlarida foydalanishlari mumkin.