Matematika yo’nalishi «Noevkilid geometriyaning vujudga kelishi»

Teorema. Lobachevskiy tekisligida uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi 180° dan kichik.

2-chizma
Teorema. Agar uchburchak ichki burchaklarining yigindisi 180° dan kichik bo’lsa, Lobachevskiy aksiomasi o’rinli bo’ladi.
Isbot. kesmaning uchlaridan shu kesmaga perpendikulyar bo’l­gan , to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz. Absolyut geometriyadan ma’lumki, , to’g’ri chiziqlar kesishmaydi. nuqtadan o’tib, dan farqli a bilan kesishmaydigan yana bitta to’g’ri chiziqning mavjudligini isbotlasak, maqsadga erishgan bo’lamiz. to’g’ri chiziqda ixtiyoriy nuqtani olib, nurni o’tkazsak, burchak hosil qilinadi, so’ngra shu burchakni nuqtadan boshlab, bir tomoni nurdan iborat qilib qo’yamiz ( burchakdan tashqariga), bu burchakning ikkinchi tomoni nur bo’lsin. Shartga ko'ra, uchburchak ichki burchaklarinilg yig’indisi 180° dan kichik bo’lgani uchun, ya’ni yoki , bundan . Bu vaqtda tog’ri chiziq a bilan kesishmaydi. Aksincha to’g’ri chiziq bilan biror nuqtada kesishadi deb faraz qilsak, uchburchak hosil bo’lib, bu uchburchak uchun tashqi burchakdir. U holda bo’lgani uchun, bu shart teoremaga zidlik qiladi. Demak, bilan kesishmaydi. Ushbu xulosaga keldik: Lobachevskiy aksiomasi «uchburchak ichki bur­chaklarlning yig’indisi 180° dan kichik» degan farazga ekvivalent.
uchburchak ichki burchaklarlning yig’indisini bilan belgilasak, ayirma musbatdir, uni uchburchakning nuqsoni (defekti) deb ataladi va bilan belgilanadi.
Teorema. Uchburchakning nuqsoni additivlik xossasiga bo’ysunadi, ya’ni

3-chizma