Matematika yo’nalishi «Noevkilid geometriyaning vujudga kelishi»

Kurs ishining maqsadi: Tekislikdagi Lobachevskiy aksiomasi va undan kelib chiqadigan natijalarni o’rgatish.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
2. Lobachevskiy geometriyasini o’rganish;
3. Inversiya va inversion almashtirishlar;
4. Puankare modeli;
5. Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish.
Xulosa qismida olingan natijalar tahlil qilingan. Kurs ishinini bajarishda foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati keltirilgan.
I BOB
LOBACHEVSKIY DAVRIGACHA BO’LGAN GEOMETRIYA

1.1-§ Gretsiyada matematika rivoji

Misr va Vavilon olimlari juda ko’p matematik kashfiyotlarni qo’lga kiritdilar, natural va kasr sonlar ustidagi amallar qoidalarni topdilar, lekin fan ham o’z yo’lida yuz yillar davomida rivojlana bordi.
Eramizdan oldingi VI-V asrlarda qadimgi greklarning matematik bilimlari taxminan o’sha saviyada edi. Lekin eramizdan oldingi V asrdan boshlab grek matematikasi yangi fundamental kashfiyotlar bilan boyidi, tubdan burilish yasaldi va o’z predmeti usullariga ega bo’la bordi. U abstrakt deduktiv fanga aylanib o’rganish sohasi matematik tushunchalardan iborat bo’la bordi. Ular orasidagi munosabatlarni tadqiq etish usuli bo’lib aksiomalar sistemasiga va oldin isbotlangan teoremalarga asoslangan mantiqiy mulohazalar hisoblana boshladi. Greklar birinchi bo’lib isbotlash g’oyasiga keladilar va hozirgacha saqlanib qolgan isbotlashlarning mantiqiy shaklini yaratdilar.
Ayni shu davrdan boshlab bilimlarning nazariy asosini tashkil etuvchi sifatida matematik tarixi boshlanadi. Shu paytdan e’tiboran matematika tabiat qonunlarini tasvirlash, amalda masalalar yechish vositasi uchun universal til degan fikr ham paydo bo’lgan.
Uch yuz yil mobaynida qadimgi Gretsiya olimlari shunday nazariyalarini yaratdilarki, ularning haqiqatdan chuqur va ilmiyligi faqatgina XIX va XX asr matematiklarigina tushunishlari va baholashlari mumkin edi.
Qadimgi Gresiya birinchi olimi bo’lib Fales Miletskiy (eramizdan oldingi 638-637- 548- 547 yillar) hisoblanadi. Undan boshlab misr va vavilon empirik matematikasi deduktiv fanga aylana boshladi, grek matematikasi asoschilaridan yana biri Pifagor Samosckiy (eramizgacha 571-570- 497-496 yillar) edi.
P
ifagor eramizdan oldingi 580 yilda Kichik Osiyo qirg’oqlarida (Egey dengizidagi Samos orolida) tug’ilgan. Uning binrinchi o’qituvchisi Germodamas edi, u Pifagorni musiqa va tasviriy san’atga o’rgatdi. So’ngra Pifagor Lesbos oroliga jo’nadi va u yerda Ferekidda astrologiya, medisina, matematikani o’rganadi. Keyin buyuk olim Miletga jo’nadi va u yerda Falesning ma’ruzalarini eshitdi. Misrda Pifagor mefis donishmandlari bilan aloqada bo’ldi, keyinroq Misrda donishmandlardan ilm o’rgandi. Faraon Amazis vafot etganda, uning vorisi fors shohi Kambizga boj to’lashdan bosh tortdi va natijada urush boshlandi. Urush davrida u, Pifagor forslarga asir tushdi. Vavilonda asirlikda ekanida Pifagor sharq astrologiyasi va boshqa fanlar bilan tanishdi.. 12 yildan so’ng Pifagor haqida fors shohi Dariy Gistasp eshitdi va u olimni ozod etdi. Shundan so’ng Pifagor Krotonda o’zining falsafiy maktabini tuzdi.U axloqiy mukammallik va bilish haqida ma’ruzalar qildi, buning uchun uni axloqlar senzori, shaharninsh ruhiy otasi deb tayinlashdi..Pifagor kishilarni unga ma’lum fanlarga o’rgata boshladi, musiqa tovushlarini tadqik etib va bog’lanishlarni matematik ifodalab musiqa nazariyasini rivojlantirdi.
Pifagor ko’p e’tiborni matematik tadqiqotlarga qaratdi. Proporsiyalar nazariyasi asoslarini yaratdi. U uning nomi bilan atalgan teoremani o’sha davrda yagona bo’lgan qulay geometrik usul bilan isbotladi. Pifagor maktabida Yerning shar shaklida ekanligi farazi ilgari surildi Sonlar haqidagi ta’limot pifagorchilarda din kabi saviyaga ko’tarildi. Masalan, ular juft sonlarni ayollar, toq sonlar erkaklar soni deb hisoblashgan. (chunki juft soni toq son bilan qo’shganda toq son hosil bo’ladi) Nikoh ramzi 5, bo’lib uch erkak soni, ikki ayol soni qo’shilishiga teng. O’z bo’luvchilari yig’indisiga teng bo’lgan sonlarni mukammal sonlar deb atashgan. Har bir ikkinchisining bo’luvchilar soniga teng bo’lgan sonlar jufti do’st sonlar deyilgan. Pifagorchilarda sonlarning geometrik tavsifi bor edi (shakldagi uchlar soniga ko’ra, ya’ni 1 - nuqta, 2 – kesma, 3 - uchburchak, 4 - tetraedr). Bu sonlar yig’indisi (1+2+3+4), 10 ga teng, u Olamning ramzi hisoblangan.
Pifagor Metaponte (Janubiy Italiya)da eramizgacha taxminan 500 yilda vafot etgan, u yerga Krotondagi qo’zg’olondan keyin qochib o’tgan edi. Uning shogirdlari Buyuk Gresiyaning turli shaharlariga ko’chib o’tib, u yerlarda pifagorchilar jamiyatlarini tashkil etdilar.
U geometriyani turli masalalarni yechish qoidalari yig’indisidan abstrakt fanga aylantirdi. Uning fikricha asosiy narsa maydonlar yuzasi, don saqlagichlar hajmi, to’siqlar uzunliklari va h.k. lar emas, balki geometrik figuralar – real mavjud narsalar xossalarini o’zida mujassam etgan ideallashtirish, abstraksiyalar hisoblaninshi lozim.
Pifagor maktabida asosan sonlar nazariyasi, muntazam ko’pyoqlar ta’limoti yaratildi. Pifagorchilar o’lchovdosh bo’lmagan kesmalarni kashf etdilar va butun matematika rivojida burilish yasadilar.
Pifagorchilarning yana bir buyuk xizmati – olam jismlarini sonli miqdorlari asosiy ahamiyatga ega ekanligini ko’rsatishlari va har bir fazoviy shakl yoki jism butunlay sonli model – son bilan aniqlanishini ta’kidladilar. Lekin ular son ahamiyatini juda oshirib ko’rsata boshladilar: uni ilohiylashtirishga urindilar.
Nisbatlarini butun sonlar bilan ifodalash mumkin bo’lmagan kesmalarning kashf etilishi pifagor ta’limotining to’la inqiroziga sabab bo’ldi va bu geometrik algebraning vujudga kelishiga imkon berdi. Algebra teoremalari qoidalari va masalalari kesmalar uzunliklari va to’g’ri chiziqli figuralar yuzalar nisbati atamalarida bayon qilina boshladi. Sonlarni nuqtalar bilan tasvirladilar yoki birlik kesma qancha qo’yilishi mumkinligi bilan aniqladilar.
Eramizdan oldingi 5-asrda uchta mashxur masala: doira kvadraturasi, kubni ikkilantirish va burchak triseksiyasi masalalari bayon qilindi va ular umumiy shartlarda, matematika tarixida beqiyos ahamiyatga ega bo’ldilar. Bu masalalarni klassik geometriya, algebra usullari bilan yechish va klassik bo’lmagan yechish usullarini qo’llash yangi matematik tushunchalarning paydo bo’lishiga sabab bo’ldi. Faqat XX asr ikkinchi yarmigacha kelib qadimgi grek matematiklari qo’ygan bu masalalarga to’la javob olindi.
Matematiklar o’z fani asosiga eleylik faylsuf Zenon Eleyskiy (eramizgacha 490- 330 yillar) bergan zarbalardan keyin ham to’xtab qolmadilar. U o’zining 45 aporiylari (aporiy – ilojsiz, tushunib bo’lmaydigan)da matematikadan yiroq va tushunarsiz shaklda matematikaga cheksizlik tushunchasining mantiqiy qarama –qarshiliklarga olib kelishini aytib o’tgan edi.
Biror jarayonni kuzatar ekanmiz faraz qilish mumkinki, har bir bajarilgan amaldan - geometrik almashtirish, arifmetik yoki algebraik amaldan so’ng keyingi amal keladi. Shunday kilib, potensial cheksizlik abstraksiyasiga kelamiz. Agar to’plamni vujudga keltirish cheksiz jarayonidan va aktual berilgan o’zining barcha elementlari yordamida berilgan uning yakuniy qismini qarasak aktual cheksizlik abstraksiyasiga kelamiz.
Zenonning yosh shogirdi abderlik atoqli moddiyunchi – olim Demokrit (eramizgacha 460 –380 yillarda) atom matematik nazariyasini ishlab chiqdi. U nuqtalarni chekli hajmga ega fazoning bo’linmas atomlari sifatida qaraydi. U holda to’g’ri chiziq kesmalari – chekli, vaholonki, unda cheksiz ko’p elementlar nuqtalar to’plamlari mavjud, yuza bo’lagi esa kesmalar yig’indisidan, jismlar esa shar yuzalaridan tashkil topgan.
Gippokrat Xiosskiy (eramizgacha V asr) birinchi bo’lib, yuzalari yig’indisi to’g’ri burchakli uchburchakka tengdosh bo’lgan hamda aylana yoylari bilan chegaralangan figuralar (gippokrat oychalari) ni kashf etdi. Elidlik Gippiy (eramizgacha 420 yil) kvadratrisa deb ataluvchi egri chiziqni kashf etdi va uning yordamida burchak triseksiyasini amalga oshirdi, Dinostrat (eramizgacha 4-asr ikkinchi yarmi) esa doira kvadraturasi masalasini yechdi. Kubni ikkilantirish masalasining klassik bo’lmagan yechimini mashhur olim, mexanik, matematik faylasuf, musiqachi va siyosiy arbob Arxit Tarentskiy (eramizgacha 428 – 365 yillar) taklif etdi.
Muhim natijalarga qadimgi grek matematigi va falakiyotshunosi Yevdoks Knidskiy (eramizgacha taxminan 406 –365-yillar ) ham erishdi. U ishlab chiqqan nisbatlar nazariyasi XIX asr ikkinchi yarmigacha haqiqiy soning eng mukammal nazariyasi bo’lib keldi.
Yevdoks – chegaralar haqidagi birinchi ta’limot - qamrab olish usuli ijodkoridir. Buni o’zi qo’llab ketma – ketlik ko’p sinflari chegaralarini hisoblashga erishdi va bu egri chiziqlar, egri chiziqli sirtlar bilan chegaralangan turli figuralar hajmlarini topishga imkon berdi. Integral hisob kashf qilingunga qadar bu usul kvadratura va kubatura masalalarini yechishning eng ishonchli va umumiy algoritmi bo’lib hisoblanar edi.
O’lchovdosh bo’lmagan kesmalar irrasionalliklarning geometrik shakli edi, ular matematikaga kirib kela boshladi. Buni o’zlarining chegaralangan son falsafalari qullariga aylangan pifagorchilar qattiq qarshilik ko’rsata olmadilar. Mashhur matematik Teyetet Afinskiy (eramizgacha 4-asr) o’lchovdosh bo’lmagan kesmalar haqida muhim teoremalarni isbotladi va o’lchovdosh bo’lmagan kesmalarning mumkin bo’lgan barcha juftlarini sinflarga ajratadi.
Eramizgacha V asr oxiri va IV asr boshi – Afina tarixining oltin yuz yilligi hisoblanadi. Bu yerda qadimgi dunyoning mashhur olimlari Klazomenlik Anaksagor, abderlik Demokrit, elidlik Gippiy, matematik Feodor Kirenskiy, qadimgi tabobat otasi kosalik Gippokrat, faylasuf Suqrotlar yashadilar va ijod qildilar. Platon o’zining mashxur akademiyasini, Aristotel hozirgi dorilfununlar o’tmidoshi – likeyni tuzdilar.
Eramizgacha IV asr oxirida siyosat maydoniga Makedoniya chiqdi va u o’zining rivojlanish cho’qqisiga Aleksandr Makedonskiy (eramizgacha 356- 322 yillar) davrida erishdi. Uning yurishlaridan so’ng grek madaniyati va tili bo’ysundirilgan xalqlar madaniyati bilan qo’shilib ketdi.
Greklar haqiqatdan ham matematika tarixida yangi sahifa ochdilar. Ayniqsa bu borada pifagorchilar katta yutuqlarga erishdilar. Ular matematiklar uchun sonlar olamini ochdilar. Sonlarning qonuniyatlari, go’zalliklariga mahliyo bo’lib, mardona va tirishqoq bo’lib izlanishlar olib bordilar, asosan natural sonldar qism-to’plamlarining yangi xossalarini isbotladilar, ular ajoyib xossalarga ega sonlar va sonlar ketma – ketliklarni topdilar. Shunday qilib, matematikaga toq va juft, tub va murakkab son tushunchalari kirib keldi. Pifagorchilar sonlarni boshqa turli belgilari bo’yicha ham sinflarga ajratdilar. Ular sonlarni nuqtalar bilan figuralar tasvirlaganlar. Uchburchakli – sonlarni, kvadratli – sonlarni, to’g’ri to’rtburchak shaklidagi - , sonlarni, beshburchak shaklidagi - sonlarni va h.k. larni qaraganlar. Mukammal va do’st sonlarni ham pifagorchilar topgan.
Qadimgi grek matematiklari dahoviy tafakkurlari bilan muammolar tartibsiz ummonidan matematikaning oltin xazinasiga kiruvchi masalalarni ajratdilar. Ular keyingi ming yilliklar olimlari ishlari uchun asos bo’ladigan masalalarni bayon etdilar.
Bu jarayonda yangicha savollar tug’ildi, chuqur matematik nazariyalar shakllandi. Yevklid tub sonlar to’plami cheksizligini isbotlagan bo’lsa,
Eratosfen Kirenskiy esa natural sonlar qatorida tub sonlarni topishning eng oson usulini (Eratosfen g’alviri) topdi. Ular natural sonlar qatorida bu sonlarning joylashish qonuniyatini topishga harakat qildilar. Bu haqda Leonard Eyler (1707-1785) matematiklar orasida tub sonlar sirini ochishga harakat qilmagan hyech kim qolmadi, deb ta’kidlagan edi. Bu masalani yechishga rus matematigi P.L.Chebishev (1821-1894) katta hissa qo’shdi. U tub sonlar taqsimotining asimptotik qonuniyatini kashf etdi. Agar funksiya dan oshmaydigan tub sonlar sonini aniqlasa, u holda ekanligini isbotladi. Bunda xato oraliqda joylashgan.
Aksiomatik metod – aksiomalarga asoslanib ilmiy nazariya qurish usuli. Asos qilib olingan aksiomalar tizimi (aksioma-tika) muayyan nazariy tizimda isbotsiz haqiqiy deb kabul qilinadi. Boshqa nazariy bilimlar, xulosalar to‘la ravishda aksiomatikadan deduktiv yo‘l bilan chiqariladi. Yangi tushunchalar nazariyaga formal ta’riflash yo‘li bilan kiritiladi. Aksiomalar tizimi ziddiyatsizlik, to‘lalik va bog‘liqsizlik shartlarini qanoatlantirishi lozim. Bitta ilmiy nazariyani turli aksiomalar tizimiga asoslanib ham qurish mumkin. Mac, haqiqiy sonlar nazariyasining turli qurish usullari mavjud.Matematikada Aksiomaqadimgi yunon geometrlari asarlarida shakllana bosh-lagan. Evklidning "Negizlar" (mil. av. 300-yillar) asarida bayon etilgan 272geometrik sistema Aksioma bilan nazariya qurish namunasidir. 19-asr ikkinchi yar-midan mat.ning turli sohalari Aksioma bilan qurila boshlandi (turli geometriyalar, arifmetika, ehtimollar na-zariyasi va boshqalar). Aksiomaning keyingi taraqqiyoti, mu-kammalashuvi D. Gilbert kiritgan for-mal sistema va formalizm metodi bilan bog‘liq. Qadimda fanlar, shu jumladan falsafaning turli bulimlarini aksiomalar tarzida bayon qilishga urinib ko‘rilgan (Nyuton, Spinoza, Forobiy va boshqalar).
Deduktiv me­tod turli shakllarda, xususan aksio­matik metod, shuningdek, gipotetik — deduktiv metod shaklida uchraydi. Mavjud faktik materiallardan deduk­tiv yo‘l bilan nazariya yaratishda asos bo‘ladigan fikrlar majmuasi (aksio­ma va boshqalar) tanlab olinib, mantiq qo­nunlari asosida ulardan boshqa bilimlar hosil qilinadi.
4. Aksiomatik metod birinchi marta qadimgi yunon geometrlari asarlarida shakllana boshlagan. Evklidning «Negizlar» (miloddan avval 300-yillar) asarida bayon etilgan geo­metrik sistema aksiomatik usul bilan nazariya qurish namunasidir. Bu asar jami bo‘lib 13 bobdan iborat bo‘lib, uning 1-4 boblarida planimetriyaning aksiomatik nazariyasi qurilgan. Mazkur geometriyaning asosiy aksiomatik tushunchalari «nuqta», «to‘g‘ri chiziq», «tekislik» bo‘lib, ular ideal fazoviy ob’yektlar sifatida olib qaralgan; geometriyaning o‘zi esa fizikaviy fazoning xususiyatlarini o‘rganuvchi ta’limot sifatida talqin qilingan. Evklid geometriyasining qolgan barcha tushunchalari ular yordamida hosil qilingan.
Evklidning «Negizlari» deyarli barcha dunyo tillariga tarjima qilingan.
19-asr oxiri va 20-asr boshlarida turli geometriyalar (Lobachevskiy geometriyasi, Proektiv geometriya, Riman geometriyasi kabi), algebralar (Bul algebrasi, kvaternionlar algebrasi, Keli algebrasi kabi), cheksiz o‘lchovli fazolar kabi mazmunan juda xilma-xil, ko‘pincha sun’iy tabiatli ob’yektlar o‘rganila boshlanishi bilan matematikaning yuqoridagi ta’rifi o‘ta tor bo‘lib qolgan. Bu davrda matematik mantiq va to‘plamlar nazariyasi asosida o‘ziga xos mushohada uslubi hamda tili shakllanishi natijasida matematikada eng aso­siy xususiyat — qatiy mantiqiy mu­shohada, degan g‘oya vujudga keldi (J. Peano, G. Frege, B. Rassel, D. Gilbert).
19-asr oxiri— 20-asr boshlariga kelib matematika asoslarini mustahkamlash bo‘yicha katta qadamlar qo‘yildi: haqiqiy sonlar nazariyasi tugallandi (Veyershtrass, Dedekind), matematik mantiq shakllandi (Peano, Frege), funksiyalar nazariyasi yaratildi (Riman, Lebeg, Fubini, Stiltes), geometriyaning aksiomalar sistemasi takomilga etkazildi (Gilbert), to‘plam tushunchasining ahamiyati anglandi, bu tushuncha asosida geometriya kabi butun matematikani ham qat’iy aksiomalar asosiga qurishga ishonch paydo bo‘ldi.
19-asr ikkinchi yarmidan matematikaning turli sohalari aksiomatik metod bilan qurila boshlandi (turli geometriyalar, arifmetika, ehtimolliklar nazariyasi va b.). Aksiomatik metodning keyingi taraqqiyoti, mukammalashuvi D. Gilbert kiritgan formal sistema va forma­lizm metodi bilan bog‘liq.
Ammo matematika asoslariga chuqurroq kirishilgani sayin muammolar ham o‘tkirlashib bordi — 20-asrning boshlari matematika tarixidagi eng chuqur inqirozga to‘qnash keldi — matematikaning asoslarida chuqur ziddiyatlar ochila boshladi (Burali — Forti, Rassel, Rishar, Grelling paradokslari). Ularni engib o‘tish yo‘lidagi urinishlar natijasida to‘plamlar nazariyasining aksiomatik nazariyasi yaratildi (Sermelo, Frenkel, Bernays, J. Fon Neyman) va «matematika binosi yaxlit mukammal loyiha asosiga qurilgani» haqidagi Gilbert tasavvuri qayta tiklandi.
Yevklid geometriyasi — miloddan avvalgi 3-asrda Yevklid izchil asoslagan geometriya. Parallellik aksiomasiga (toʻgʻri chiziqda yotmagan nuqta orqali shu toʻgʻri chiziq bilan kesishmaydigan faqat bitta toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin, degan aksiomaga) hamda mutlaq geometriya aksiomalari sistemalari deb ataluvchi besh guruh (bogʻlanish, tartib, harakat, uzluksizlik, parallellikdan iborat) aksiomalarga asoslangan. Yevklid geometriyasi aksiomalar sistemalari nuqta, toʻgʻri chiziq, tekislik, harakat va nuqta, toʻgʻri chiziq va tekislik orasidagi munosabatlarga tayanadi. Yevklid geometriyasi birinchi marta izchil ravishda Yevklid „negizlari“da bayon etilgan. Yevklid geometriyasidan farqli geometriya birinchi marta rus geometri N. I. Lobachevskiy yaratdi. Yevklid geometriyasi oʻrta maktabda oʻqitiladi va „elementar geometriya“ deb ham ataladi
Yevklid negizlari — Yevklidning asosiy matematik asari. 13 kitobdan iborat boʻlgan. Yevkliddan keyin Gipsikl (mil. av. 2-asr) va miletlik Isidor (mil. av. 6-asr) Yevklid "Negizlari"ga XIV va XV kitoblarni qoʻshganlar; shuning uchun asar 15 kitobdan iborat ham deyiladi. Asarda Yevklid davrigacha boʻlgan yunon matematikasi bayon etiladi. Yevklid "Negizlari"da geom. deduktiv asosda, yaʼni aksiomatik usulda yoritiladi; birinchi jumla (tasdiq) lar isbotsiz qabul qilinib, qolgan hamma daʼvolar — teoremalar shu aksiomalardan xulosa tariqasida chiqariladi. Yevklid "Negizlari"ning 1-1U kitoblari planemetrik kitoblar boʻlib, asosan, hozirgi oʻrta maktab dasturiga kirgan planemetriya bayon etiladi. V— VI kitoblarida geometrik miqdorlar (kesmalar, yuzalar) ning nisbatlari nazariyasi bayon etiladi. Bunda Yevdoks Knidlikning nisbatlar nazariyasi asos qilib olingan. VII—IX kitoblar arifmetik kitoblar boʻlib, butun sonlarga asoslangan nazariy arifmetika bayon etiladi. X kitobda irratsionalliklar nazariyasi va tasnifi beriladi. XI—XIII va qoʻshimcha XIV-XV kitoblar stereometriya ga bagʻishlangan. Yevklid "Negizlari" kamchiliklardan ham xoli emas. Masalan: nuqta, toʻgʻri chiziq va b. geometrik obrazlarning taʼrifi mantiqiy nuqtai nazardan nuqsonli hisoblanadi. Asarda zaruriyatsiz kiritilgan aksiomalar mavjud (masalan: aksioma sifatida olingan „Xamma toʻgʻri burchaklar oʻzaro teng“, degan iborani isbotlash mumkin), geometriyani aksiomatik asosda qurish uchun zarur boʻlgan harakat aksiomalari va tartib aksiomalari berilmagan, vaholanki asarda ulardan foydalanilgan