Математика

Nizomiy nomidagi Toshkent Davlat Pedagogika Universiteti Sirtqi (maxsus sirtqi) fakulteti Maktabgacha ta’lim yo’nalishi 104- guruh talabasi Badalova Dilnozaning Oliy matematika fanidan “To’plamlar va ular ustida amallar. Matematik mantiq elementlari” mavzusida tayyorlagan mustaqil ta’lim mashg’uloti Tekshirdi: Rajabov Ulug’bek.

Reja

To‘plam tushunchasi, uning elementi, berilish usullari. Chekli, cheksiz, bo’sh to’plamlar.

1

2

To’plamlar ustida amallar, ularning xossalari.Eyler-Venn diagrammalari

To‘plam tushunchasi – matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u ta’riflanmaydigan, faqat misollardagina tushuntiriladigan tushunchadir. Masalan, auditoriyadagi talabalar to‘plami, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plami, kitobning ma’lum betidagi nuqtalar to‘plami, kitobning ma’lum betidagi harflar to‘plami, O‘zbekistondagi viloyatlar to‘plami, Quyosh sistemasidagi planetalar to‘plami, biror aylanada yotuvchi nuqtalar to‘plami va hokazo.

To‘plam tushunchasi – matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u ta’riflanmaydigan, faqat misollardagina tushuntiriladigan tushunchadir. Masalan, auditoriyadagi talabalar to‘plami, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plami, kitobning ma’lum betidagi nuqtalar to‘plami, kitobning ma’lum betidagi harflar to‘plami, O‘zbekistondagi viloyatlar to‘plami, Quyosh sistemasidagi planetalar to‘plami, biror aylanada yotuvchi nuqtalar to‘plami va hokazo.

To‘plamni tashkil qiluvchi obyektlar uning elementlari deyiladi. To‘plamlarni A, a, a, A yoki A  harflari bilan belgilaymiz. To’plam bir qancha elementlardan iborat bo’lishi mumkin, quyidagi yozuv:

aϵA                      (1)

a elementni A to’plamga tegishliligini bildiradi.

a A (2)

a elementni A to’plamga tegishli emasligini bildiradi, yoki mantiq belgisidan foydalangan holda – (a ϵ A) ko’rinishda yozishimiz mumkin. Agar  aϵA  bo’lsa, u holda a element A to’plamga tegishli deyiladi

•  

Hajmlilik aksiomasiga ko’ra to’plam elementlarini quyidagicha belgilashimiz ham mumkin,

Hajmlilik aksiomasiga ko’ra to’plam elementlarini quyidagicha belgilashimiz ham mumkin,

A={1,a,t,x}

bunda, A to’plam tarkibida 1 soni va a,t,x  harfiy belgilar kiradi

To’liqlik Aksiomasiga ko’ra to’plam elementlari soni uning tarkibiga kiruvchi elementlar bilan aniqlanib ularning qanday tartiblanganiga bog’liq emas.

(3) A to’plam {a,x,1,t} to’plam bilan ham va {x,t,a,1,1,1,t,a,t,x} to’plam bilan ham bir xildir

To’plamlar asosan ikki xil usulda beriladi:

To’plamlar asosan ikki xil usulda beriladi:

 1)  elementlarining ro’yxati bilan; 

 2) elementlarining xarakteristik xossasi bilan

Masalan, A={qizil; sariq; yashil}- ro’yxati,

               A={svetofor ranglari to’plami}- xarakteristik xossasi.

Elementarlarining soniga ko‘ra to‘plamlar 3 turli bo‘ladi: chekli to‘plamlar;  cheksiz to‘plamlar va bo’sh to’plamlar.

Masalan, auditoriyadagi talabalar to‘plami-chekli to‘plam, barcha natural sonlar (1, 2, 3, ...) to‘plami esa cheksiz to‘plam.

Matematikada ko‘pincha sonli to‘plamlar, ya’ni elementlari sonlardan iborat bo‘lgan to‘plamlar ishlatiladi. Maktab matematika kursidan bilamizki, ular ma’lum belgilar bilan belgilanadi: N – barcha natural sonlar to‘plami; Z – barcha butun sonlar to‘plami; Q – barcha ratsional sonlar to‘plami; R – barcha haqiqiy sonlar to‘plami C – barcha kompleks sonlar to‘plami.

Odatda to‘plam elementlarini ko‘rsatib yozish uchun katta qavs (figurali qavs – {}) dan foydalaniladi. Masalan,

N = {1, 2, 3, …..n, ….}

Z = {…., -n, …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….., n, …..}

Chekli to‘plam bitta yoki bir nechta elementdan tashkil topgan bo‘lishi yoki hatto bitta ham elementga ega bo‘lmasligi mumkin. Bitta ham elementga ega

bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deyiladi va {Ø} belgi bilan belgilanadi.

Masalan, ma’lum auditoriyadagi talabalar ichidan familiyalari A harfi bilan boshlanadigan talabalar to‘plamini qaraylik. Bu to‘plam bitta yoki bir nechta elementli yoki hatto bo‘sh to‘plam bo‘lishi mumkin.

To’plamlar ustida amallar, ularning xossalari

To’plamlar ustida asosan birlashma, kesishma, ayirma, dekart ko’paytma kabi amallar bajariladi.

А vа B to’plаmlаrning kаmidа birigа tеgishli bo’lgаn bаrchа elеmеntlаrdаn tаshkil tоpgаn AB to’plаm АvаB to’plаmlаrning birlаshmаsi yoki yig’indisi dеyilаdi. Bu matematik tilda quyidagicha yoziladi:

A B= {xA V x ϵ B}

А vа B to’plаmlаrning kеsishmаsi yoki ko’pаytmаsi dеb, bu to’plаmlаrning bаrchа umumiy, ya’ni А gа hаm, B gа hаm tеgishli elеmеntlаrdаn tаshkil tоpgаn AB to’plаmgааytilаdi. A va B to’plamlarning  kеsishmаsi mantiq qoidalariga ko’ra quyidagicha yoziladi:

•  

А vа B to’plаmlаrning аyirmаsi dеb, Аto’plаmning B to’plаmgа kirmаgаn bаrchа elеmеntlаrdаn tаshkil tоpgаn to’plаmgааytilаdi va А \ B yoki A-B

ko’rinishlarda belgilanadi. A va B to’plamlarning ayirmasi mantiq qoidalariga ko’ra quyidagicha yoziladi

A\B va B\A to‘plamlarning birlashmasi simmetrik ayirma deyiladi va A ∆ B ko‘rinishida belgilanadi:

A va B to‘plamlarning dеkart ko‘paytmasi dеb shunday to‘plamga aytiladiki, u to‘plam elеmеntlari tartiblangan (x, y) juftliklardan ibоrat bo‘lib, bu juftni birinchisi  A to‘plamdan, ikkinchisi esa B  to‘plamdan оlinadi. Dеkart ko‘paytma A*B  ko‘rinishda bеlgilanadi: