Matematika o’qitish metodikasi

Qadimgi zar naqshlari
Birinchi ehtimoliy vazifalar turli qimor o'yinlarida paydo bo'ldi - zar, karta va boshqalar. [8] 13-asrdagi frantsuz kanoneri Richard de Furnieval uchta zardan keyin barcha mumkin bo'lgan nuqtalarni to'g'ri hisoblab chiqdi va ushbu summalarning har birini olish usullarini ko'rsatdi. Ushbu usullar sonini, ehtimollikka o'xshash, kutilayotgan hodisaning birinchi raqamli o'lchovi sifatida ko'rib chiqish mumkin. Fournivaldan oldin va ba'zan undan keyin, masalan, 3 va 4 balllarning yig'indisi bir xil ehtimoli borligini hisobga olgan holda, ko'pincha noto'g'ri hisoblab chiqilgan, chunki ikkalasi ham "faqat bitta yo'nalishda" bo'lishi mumkin: rulon natijalariga ko'ra "uch birlik" va "ikkitadan ikkitasi" birliklari "mos ravishda. Uch birlik aslida bitta yo'l bilan olinishi hisobga olinmadi: {\ displaystyle 1 + 1 + 1}
, va ikkita birlikdan iborat dekus - uchta: {\ displaystyle 1 + 1 + 2; \; 1 + 2 + 1; \; 2 + 1 + 1} , shuning uchun bu hodisalar bir xil ehtimolli emas [9]. Shunga o'xshash xatolar keyingi fan tarixida bir necha bor topilgan.
Italiyalik Luka Pakioli (1494) tomonidan nashr etilgan "Arifmetika, geometriya, munosabatlar va nisbatlar yig'indisi" keng matematik entsiklopediyasida ushbu mavzudagi o'ziga xos topshiriqlar mavjud: agar ketma-ket o'yinlar muddatidan oldin to'xtatilsa, ikki o'yinchi o'rtasida tikish qanday bo'linadi. Shunga o'xshash vazifaning misoli: o'yin 60 ochkoga qadar boradi, g'olib 22 dukat miqdorida pul to'laydi, o'yin davomida birinchi o'yinchi 50 ochko to'pladi, ikkinchisi - 30, shundan so'ng o'yin to'xtatilishi kerak edi; Boshlang'ich stavkani adolatli ravishda taqsimlash talab qilinadi. Qaror "adolatli" degan ma'noni anglatadi; Pacioli o'zi to'plangan ballarga mutanosib ravishda taqsimlashni taklif qildi (55/4 va 33/4 dukatlar) [10]; Keyinchalik uning qarori xato deb topildi [11].
XVI asrning katta algebraisti Gerolamo Kardano o'yinni tahlil qilishga bag'ishlangan "Zar zarralari o'yinidagi kitob" (1526, vafotidan keyin nashr etilgan) ma'lumotli monografiyasini nashr etgan. Kardano ballar qiymati uchun to'liq va xatosiz kombinatsion tahlilni o'tkazdi va turli hodisalar uchun "qulay" hodisalar ulushining kutilgan qiymatini ko'rsatdi: masalan, uchta zarni tashlashda, barcha 3 zarning qiymatlari 6/216 yoki 1/36 ga to'g'ri keladigan holatlar nisbati. Kardano ehtiyotkorlik bilan ta'kidladi: o'rganilgan voqealar soni, oz sonli o'yinlar uchun nazariy jihatdan juda farq qilishi mumkin, ammo seriyalardagi o'yinlar qancha ko'p bo'lsa, bu farqning ulushi shunchalik kichik bo'ladi. Aslida, Kardano ehtimollik tushunchasiga yaqinlashdi [12]:
Shunday qilib, hisoblashning bitta umumiy qoidasi mavjud: mumkin bo'lgan tomchilarning umumiy sonini va ma'lumotlarning paydo bo'lish usullarini hisobga olish kerak, so'ngra oxirgi raqamning qolgan mumkin bo'lgan tomchilar soniga nisbati topiladi.
Yana bir italiyalik algebraist Nikkolo Tartalya, Patsiolining pul tikish masalasini yechishda yondashishini tanqid qildi: oxir-oqibat, agar o'yinchilardan biri bitta ochkoni qo'lga kirita olmagan bo'lsa, Pacioli algoritmi raqibiga to'liq tiklanishni beradi, ammo bu juda adolatli, chunki g'alaba qozonish uchun ba'zi imkoniyatlar mavjud. lagger hali ham bor. Kardano va Tartalya o'zlarining bo'linish usullarini taklif qilishdi, ammo keyinchalik bu usullar ham muvaffaqiyatsiz deb topildi [13].
"Zar o'ynayotganda ballarning chiqib ketishi to'g'risida" risolasini yozgan Galiley Galiley (1718, vafotidan keyin nashr etilgan) ham ushbu mavzuni o'rgangan. Galileyning o'yin nazariyasini taqdimoti har tomonlama va tushunarli. Galiley o'zining "Dunyoning ikkita yirik tizimidagi dialog, Ptolemeyik va kopernik tilidagi muloqoti" kitobida astronomik va boshqa o'lchovlar xatoligini taxmin qilish mumkinligini ta'kidlab, kichik o'lchov xatolar kattaroqroq bo'lishini ta'kidladi, ikkala yo'nalishda ham og'ish ehtimoli bir xil va o'rtacha natija bo'lishi kerak. o'lchangan qiymatning haqiqiy qiymatiga yaqin bo'lish. Ushbu sifat jihatlari tarixda birinchi bo'lib xatolarning normal taqsimlanishini bashorat qilgan edi [14].
Matematika — bizni o‘rab turgan olamning fazoviy shakllari va miqdoriy munosabatlari haqidagi fandir. Keltirilgan ta’rifni keng ma’noda tushunish zarur. Fan va texnikaning rivojlanishi fazoviy shakllar va miqdoriy munosabatlar bo‘yicha uzbiy bog‘liqligini matematikada o‘rganish uzluksiz kengayib boradi. Matematika tabiiy-iimiy, injener-texnik va iqtisodiy tadqiqotlarda muhim vazifani bajaradi. U ko‘plab bilim tarmoqlarida faqatgina miqdoriy hisob quroli bo‘lib qolmasdan, shuningdek, aniq tadqiqotlar usuli, muammo va tushunchalami yetarlicha aniqlikda umumlashtirish vositasi bo'ladi. Zamonaviy matematika va uning rivojlanayotgan mantiqiy hamda hisoblash metodlaridan foydalanmasdan insoniyot faoliyatining turli sohalarida yuksak natijalarga erishib bo‘lmaydi. Matematika faqat amaliy masalalami yechishning kuchli vositasi boiib qolmay, balki umimiy madaniyat elementi hamdir. Shu sababli matematik bilimlar zamonaviy mutaxassislar tayyorlash tizimining fundamental asosini tashkil qiladi deb qarash lozim. Yevropa va markaziy osiyolik olimlarning matematika fani taraqqiyotiga qo‘shgan hissalari. Tarixdan ma’lumki, ilm-fan, madaniyat va san’at rivojlangan jamiyatda taraqqiy etish, yuksalish bo‘lgan. Qolaversa, ilm-fan ma’lum davlatning jahonga chiqishida, tanilishida asosiy omillardan biridir. Bu jarayonda o‘z iqtidori, bilimi va ilmiy, badiiy ijodi bilan ilm xazinasini kashfiyot durlari bilan boyitgan sharqu-garb olimlarining hissasi beqiyosdir. Ular yaratgan asarlar ayni kunda ham olamni anglash, inson va borliq o‘rtasidagi muammolami hal etish, diniy va dunyoviy bilimlami boyitishda dasturamal vazifasini o‘tab kelayotir. Bu borada matematika sohasida farb va sharq allomalari ilmiy ishlarini mo‘jizaga qiyoshlash mumkin. Qadimiy gretsiyalik matematik va mexanik Arximed (eramizdan awalgi 287-212-yillar); fransuz matematigi va faylasufi P. Dekart (1596-1650); angliyalik fizik va matematik I. N’yutoh (1643- 5 1727); nemis faylasufi, matematik va fizik G. Leybnits (1646-1716); matematik, mexanik va fizik L. Eyler (1707-1783); fransuz matematigi va mexanigi J. Lagranj (1736-1813); nemis matematigi K. Gauss (1777-1855); fransuz matematigi O. Koshi (1789-1857) va boshqa ko'plab yirik olimlaming ishlanmalarida oliy matematikaning asoslari keltirilganligini ta’kidlash kerak. Markaziy Osiyoda ham dunyo iim-fan taraqqiyotiga hissa qo‘shgan buyuk allomalarimizning ilmiy merosi bebahodir. Matematika sohasida buyuk asarlar yaratgan, ulkan dunyoviy ilmni meros qoldirgan ajdodlarimiz haqida kengroq ma’lumotga ega bo‘lish bugungi avlodlar oldidagi ham farz, ham qarzdir. Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy — (taxminan 780-850-yillarda yashagan) - matematika fanining asoschisi, geografiya, tarix va astronomiya kabi fanlaming rivojlanishiga katta hissa qo‘shgan. Hindlarning o‘nli sistemasini birinchi bo‘lib tadqiq qilgan, algebra faniga asos solgan buyuk astronom, qomusiy olim hisoblanadi. Al-Xorazmiy o‘z umrining aksariyatini Bag'dodda tashkil etilgan ilmiy dargoh «Baytul-hikmat» (“Donishmandlikuyi”)da olim sifatida faoliyat yuritdi. Uning matematika bo‘yicha yozgan risolalari: «Kitob al-jabr val muqobala», «Hind hisobi haqida qisqacha kitob», «Astronomik jadvallar», «Kitob ul-suratul-arz», «Hind hisobi haqida qisqacha kitob» asari Yevropada hind raqamlari sistemasining tarqalishida muhim rol o‘ynadi. «Kitob al-jabr val muqobala» asarida algebra mustaqil fan sifatida birinchi bo‘lib o‘rganib chiqildi. Bu risola ikki qismdan iborat bo‘lib, birinchi qismida algebraik miqdorlar ustida amallami bajarish qoidalari, birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar ko‘rib chiqilgan. Qoidalar va yechimlar so‘z bilan bayon etilgan. Noma'lum ildiz yoki buyum deb, noma’lumning kvadrati - kvadrat deb atalgan. Kvadrat tenglamalar geometrik usulda yechilgan. Ikkinchi qismda esa turli xo‘jalik - tunnush, savdo va yuridik (yer o‘lchash, meros bo‘lish) masalalarga algebraik metodlami joriy qilish ko‘riladi. Shuningdek, asarda geometrik masalalar bayon etilgan. Unda ж va v’To sonlarining birbiriga yaqinligi hamda bundan tashqari, ~ , 3,1416 kabi qiymatlari keltirilgan. Bu asar lotin tiliga XII asrda tarjima qilingan va ko‘p 6 vaqtlar davomida Yevropa mamiakatlarida matematika bo‘yicha asosiy qoilanma bo'lib keldi. “Al-jabr” asari matematikaning alohada bo'limiga aylanib, “algebra” deb ataladigan bo‘ldi. “Al-Xorazmiy” nomi “Algoritmus’ hozirgi hisoblash matematikasining asosiy atamasi “algoritm”ga aylandi. Abul Abbos Ahmad ibn Muhammad ibn Nosir aI-Farg‘oniy 797-865-yillarida yashab ijod qilgan buyuk ajdodimizdir. Sharqda Al-Farg‘oniy, Yevropada Alfraganus (Alfraganus) tahalluslari bilan mashhurdir. Ahmad al-Farg‘oniy Farg'onaning Qubo, hozirgi Quva shahrida tavallud topgan. U - buyuk astronom, matematik va geograf. Sharqda “Hosib” (matematik) degan laqab bilan shuhrat topgan. Uni “Munajjim al-Rais” deb ham atashgan. Astronomiya, geografiya va matematika sohasidagi asarlari bu fanlar taraqqiyotiga salmoqli hissa qo‘shdi, hamda bir necha asrlar davomida olimlar uchun qoilanma bo'ldi. Ahmad al-Farg‘oniy Yer kurrasining doiraviy uzunligini, diametri va radiusini aniqlagan. Yer meridianlari haqida bilimlarga asos solgan va samodagi yulduzlarga mukammal tasnif bergan. Chuqur matematik tadqiqotlar natijasida samoviy jismlaming balandligi va ulargacha bo‘lgan masofalami o‘lchash jihozlarini qurish hamda foydalanish ilmining birinchi mukammal nazariyasini yaratgan olim sifatida jahon ilm ahli tomonidan e’tirof etilgan. Ahmad al-Farg‘oniy tomonidan ixtiro qilgan suv sathini o‘lchash “Nilometr” qurilmasi Nil daryosi sohiliga barpo qilinadi. Bu qurilma suvning ko'tarilishi va pasayishini kuzatish imkonini bergan. Bu kuzatish asosida dehqonchilikning yil bo‘yi qanday boiganligini qayd etish mumkin bo‘lgan. U Bag‘dod rasadxonasida ko‘pgina kashfiyotlar qildi. Jumladan, 840-yilgi Quyosh tutilishini oldindan bildi va bu haqda ilmiy kuzatishlar olib bordi. Alloma 1022 ta yulduzni o‘lchab, tasvirladi. Abu Nasr Muhammad ibn Muhammad ibn Uzlug‘ ibn Tarxon Forobiy (870- 950) qomuschi olim, sharq fanining asoschilaridan biri. Forobiy «Hajm va miqdor haqida kitob», «Fazo geometriyasiga kirish haqida qisqacha kitob» va boshqa asarlari bilan mashhurdir. Asarlarida matematikaning asosiy tushunchalarini asoslash va to‘g‘ri bayon etish usullariga katta e’tibor bergan. 7 Abu Rayhon Muhammad ibn Ahmad Beruniy (973-1048) astronom, matematik va qomuschi olim, Xorazmda tug'ilgan, asosiy asarlarini arab tilida yozgan. Beruniyning asosiy ishlari astronomiya, matematika, fizika, falsafa, tarix, botanika, geografiya, mineralogiya va h. k. larga bag‘ishlangan. «Kitob at-tafxim» (1029— 1034 yillar) asarida matematika, astronomiya va astrologiya asoslari bayon etilgan. «Doiradagi vatarlami uning ichiga chizilgan siniq chiziqlar yordamida aniqlash haqidagi risola» (1027-yil) nomli asarida geometriya va trigonometriyaning qator teoremalarining isbotlari berilgan. Beruniy tomonidan arifmetika va algebraning asosiy masalalariga ta‘rif beradi; butun va kasr sonlar ustida amallar, chiziqli, kvadrat hamda kub tenglamalami taqribiy yechish usullarini bayon etadi; doiraga ichki chizilgan muntazam ko'pburchakning tomonlarini aniqlaydi; ko‘pyoqlar, aylanma jismiar, konus kesimlari, muntazam ko‘pyoqlarga ta’rif beradi va stereometriyaning asosiy tushunchalarini bayon etadi. Matematikaga bag£ishlangan 22 ta risola yozib qoldirgan. Abu Ali Husayn ibn Abdulloh ibn Sino (980-1037) faylasuftabiatshunos, tabib, matematik, shoir, Buxoroga yaqin Afshona qishlog‘ida tugiigan, Xorazm va Eronda ishlagan. Asosiy asarlari: «Tib qonunlari», «Ashshifo», «Najot», «Ishorat va tanbih», «Donishnoma» va «Urjuz». Bulardan «Ashshifo» va «Donishnoma» asarlari da matematikaga bag‘ish!angan maxsus boiimlar bor. Shoir, faylasuf, astronom va matematik G ‘iyosiddin Abulfath Umar ibn Ibrobim Hayyom (1048-1131) Nishopurda tug‘ilgan. U birinchi bo‘lib uchinchi darajagacha bo‘lgan tenglamalami yechish nazariyasini yaratdi va barcha tenglamalaming umumiy sinflarini bayon etdi. Umar Hayyom birinchi maria geometriya bilan algebraning aloqasi to‘g‘risidagi hamda algebraik tenglamalami geometrik tushuntirish va yechish haqidagi masalani qo‘ydi. Muhammad Та rag‘ay Ulug'bek (1394-1449) - buyuk o‘zbek astronomi, matematigi, davlat arbobi va ma’rifatparvari. U Samarqandda madrasa va dunyoda eng yaxshi rasadxona bunyod etdi. 0 ‘z atrofiga mashhur matematik va munajjimlami to‘plab, ilmiy maktab tashkil etdi. Ulug‘bek tomonidan juda aniq trigonometrik jadvallami tuzishga imkon beruvchi al-jabr usullari ishlab chiqildi. Bu usul istalgan aniqlikda hisoblashlami amalga oshirishga yordam berar edi. Matematikaning rivojlanishiga rus matematiklari — N.I. Lobazevckiy (1792-1856), M.V.Ostrogradskiy (1801-1861), P.L. Chebishev (1821-1894), A.A. Marchuk (1856-1922), A.M. Lyapunov (1857-1918) va boshqalaming ishlarini ham e’tirof etish mumkin. 0 ‘zbekistonda matematika fanining rivojlanishi. Zamonaviy o'zbek matematika maktabi ham jahon matematika fanining oldingi qatorlarini egallab kelmoqda. Bu borada o‘zbek matematiklari A. Sarimsoqov, S.H, Sirojiddinov, T.N. Qori-Niyoziy, T.Jo‘rayev, M. Salohiddinov, Sh. Ayupov, Sh. Alimov, A. Sadullayev, A. A’zamov, N. G‘anixodjayev, R. G‘anixodjayev, M. Oripov, E. Fayziboyev, Y. Soatov, A. Narmonov, M. Mamatov va boshqalaming ilmfan sohasidagi erishgan yutuqlarini ta’kidlash lozimdir.