Matematika o’qitish metodikasi

MAVZU:Cheksiz qatorlarning qo’llanishi. Trigonametrik qatorlari.

Nyuton cheksiz qatorni algebra teglamalarini, differensial tenglamalarni yechish uchun ham qo’lladi. Bu qo’llangan usul o’z mohiyatiga ko’ra aniqmas koeffisiyentlar usuli edi.

Leybnis ham 1693 yilda differensial tenglamalarni integrallash uchun aniqmas koeffitsiyentlar usulidan foydalangan. sonini ifodalovchi

qator ham birinchi marta 1682 yilda Leybnis tomonidan e’lon qilingan. U I. Bernulliga yozgan xatlarida yig’indilariga «yaqinlashadigan» qatorlar haqida so’zlaydi, ammo shu bilan birga 1—1 + 1 — 1+... qatorning yig’indisi 1/2 ga teng degan fikrga qo’shiladi.
Cheksiz qatorlar bo’yicha aka-uka Iogann va Yakob Bernullilar shug’ullanib, Yakob (1689—1704) qatorlar bo’yicha qilingan ishlar bayonini berdi. Yoganni, so’ngra Yakob

cheksiz garmonik qatorning yig’indisi cheksizligini isbotladilar.

1715 yilda ingliz matematigi Bruk Тeylorning «Ayirmalar usuli, to’g’ri va teskari» nomli kitobi chop etilib, unda chekli ayirmalar qaraldi va so’ngra li­mit hol deb cheksiz kichik ayirmalarga va ularning nisbatiga o`tiladi, z ning x funksiyasining orttirilgan qiymati uchun z miqdorning v orttirmasining darajalar bo’yicha yoyilmasi

ni topadi. Bu Тeylor qatori deb atala boshlandi.

Makloren 1742 yilda chop etgan «Flyuksiyalar haqida traktat» asarida bu formulaning ahamiyatini ochib berdi. Bu qatorni Makloren boshqacha usul bilan keltirib chiqardi: y x ning darajalari bo’yicha yozilgan, koeffitsiyentlari aniqmas bo’lgan yoyilmani asos qilib, uni takror differensiallaydi va har gal z=0 deb koeffisiyentlari ketma-ket aniqlaydi. Shunday usulda binominal qatorni keltirib chiqardi. Shuningdek, bu asarda: musbat hadli qatorlarning yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi bo’lishining integral alomatini (geometrik shaklda, keyinroq uni analitik ravishda Koshi isbotlagan); berilgan ko’rinishdagi hadlarning yig’indisi biror integralni hisoblash bilan bog’lovchi Eyler-Makloren formulasini keltirib chiqardi (bu formulani u mustaqil topgan, Eyler esa uni oldinroq topgan edi).
1730 yildan boshlab Eylerning qatorlar nazariyasi bo’yicha ajoyib ishlari bosilib chiqa boshladi. U birinchi bo’lib, limitga utishni faraz qilib, binomial qatordagi ko’rsatkichli va logarifmik qatorlarni kel­tirib chiqardi. O`sha usul bilan cosnz va sinnz ning ma’lum formulalaridan kosinus va sinus uchun qatorlar hosil qildi. U darajali qatorni ko’phadga o’xshatib ko`paytuvchilarga ajratdi, sinus va boshqa funksiyalarni cheksiz ko`paytma ko’rinishda tasvirladi. Birinchi hadlari bir xil bo’lgan ikki hadlarni o’zaro ko’paytirish qoidasidan foydalanib,

formulalarni va shunga o’xshash boshqa formulalarni topdi.
Eyler kompleks qatorlarni ham tekshirib, sinx, cosx, e^x lar uchun qatorlarini taqqoslash orqali bu funksiyalarni bog’lovchi formulalarni keltirib chiqardi. Eyler qatorlarning faqat analizga emas, balki algebra, sonlar nazariyasiga va boshqa sohalarga tatbiqlarini ko’rib chiqqan. Lekin qatorlarning yaqinlashishi masalalariga beparvolik bilan qaragan va uzoqlashuvchi qatorlarni bemalol qo’llayvergan, masalan,

yoyilmalarni qo’shib,

qator 0 ga teng degan xulosaga keladi.
Qatorning yaqinlashishini Lagranj umumiy hadning nolga intilishidan iborat deb tushunadi, unda yaqinlashuvchi qator yig’indisi tushunchasining ta’rifi yo’q. Fransuz matematigi Fur’e o’zining «Issiqlikning analitik nazariyasi» (1811 yil; 1822 yilda bosilib chiqqan) asarida qatorning yaqinlashishiga va uning yig’indisiga to’g’ri ta’rif berdi, shu bilan birga qatorning yaqinlashishi uchun uning hadlari nolgacha «uzluksiz kamayishi» mutlaqo yetarli emasligini ta’kidladi.
1813 yilda Gaussning

qatorga doir umumiy tekshirishlar (bu «gipergeometrik» qator deb ataladi) asarida yaqinlashish alomatining dastlabki turli ta’rifini berdi va keltirilgan qatorning yaqinlashishi haqidagi masalani uning yordamida hal etdi.