Matematika” kafedrasi Samadova Dilnozaning

Stoks teoremasi.

1.3.1-teorema. Agar funksiyalar o`zlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga sohada uzluksiz bo`lsa, u holda quyidagi formulalar o`rinli bo`ladi.

Bu yerda - birlik ector normalning sirtga yo`naltiruvchi, -bu sirtning chegarasi.

(1.3.3) formula Stoks formulasi deyiladi. (1.3.3-chizma)





.( Silindr sigma sohada)
Bu formulada kontur bo`yicha integrallash yo`nalishi sirtning tanlangan tomoni bilan quyidagi qoida bo`yicha moslashtiriladi: normalning oxiridan konturni aylanib o`tish soat miliga qarshi yo`nalishda kuzatiladi.

Isboti. sirt hamma koordinata tekisliklariga bir qiymatli proyeksiyalansin. Bu sirtning tenglamasi

Bu yerda funksiya sohada differensiallanuvchi funksiya bo`lib, sirtning tekislikdagi proyeksiyasi bo`ladi.

sohaning chegarasini bilan belgilaymiz, shu bilan birga kontur ning tekislikdagi proyeksiyasi bo`ladi.

sirtning yuqori tomonini tanlab olamiz, bunda mos holda undagi orientatsiyani ham tanlab olamiz.

Ushbu

egri chiziqli integralni avval kontur bo`yicha, keyin esa Grin formulasidan foydalanib soha bo`yicha karrali integralga almashtiramiz va nihoyat, sirt bo`yicha sirt integraliga almashtiramiz.

Chegara sirtga tegishli bo`lgani uchun kontur nuqtalarining koordinatalari tenglamani qanoatlantiradi va binobarin, funksiyaning dagi qiymatlari funksiyaning dagi mos qiymatlariga teng. va mos bo`linishlarning o`qidagi proyeksiyalari mos tushadi, demak, va kontur bo`yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrallar uchun integral yig`indilar ham mos tushadi. Shuning uchun

buning o`ng qismiga

Grin formulasini va murakkab funksiyani differensiallash qoidasini qo`llab,

ni topamiz. ni formula bo`yicha sirtning elementi orqali almashtirib, soha bo`yicha karrali integralni sirt bo`yicha integralga keltiramiz:

Ma’lumki

Vektor sirtga perpendikulyar va binobarin, normalning birlik vektoriga kollinear:

Shuning uchun bu vektorlarning kollinearlik sharti bajarilishi kerak:

Demak,

Bu munosabatdan foydalanib, (1.3.4) ifodani bunday ko`rinishda qayta yozamiz:

Quyidagi formulalar shunga o`xshash hosil qilinadi:


(1.3.5),(1.3.6),(1.3.7) formulalarni qo`shib, Stoks formulasiga kelamiz:

Uni quyidagi ko`rinishda qayta yozish mumkin:

Xususan, agar soha kontur bilan chegaralangan tekislikning sohasi bo`lsa, u holda va bo`yicha integrallar nolga aylanadi va stoks formulasi

Grin formulasiga o`tadi.

Stoks formulasi egri chiziqli integrallarni yopiq kontur bo`yicha sirt integrallari yordamida hisoblashga imkon beradi.

1.3.1-misol. Ushbu

vektor maydonning koordinata tekisliklari bilan kesishish chizig`i bo`yicha sirkulyatsiyasini hisoblang.

Yechish: tekislikning yuqori tomonini shuningdek, shu tomonga mos kelgan berk konturni aylanib chiqish yo`nalishini qarab chiqamiz.

(1.3.4-chizma)



. (Uchburchak).
Ushbuga ega bo`lamiz:

Xususiy hosilalarini topamiz:

Bu ifodalarni (1.3.9) Stoks formulasiga qo`yamiz.

sirt bo`yicha olingan integralni bu sirtning koordinata tekisliklaridagi proyektsiyalari bo`lgan karrali integrallar bilan ifodalaymiz:

(1.3.5-chizma)

. (Uchburchak).

( 1.3.6-chizma)

. (Uchburchak).

(1.3.7-chizma)


.( Uchburchak).
Shunday qilib