Matematika kafedrasi nurmatova gulnoraning

Regressiya chiziqlari va regressiya tenglamalari.

Statistikada odatda korrelyastion bog’lanish deganda ikki X va U tasodifiy miqdorlar orasidagi bog’lanish, bir miqdorning o’zgarishi ikkinchi miqdorning o’rta qiymati o’zgarishiga olib keladigan bog’liqlikni tushuniladi.

Bizning keyingi urinlardagi xisob-kitoblarimiz korrelyastion bog’lanishning shu ma’nodagi tushunilishiga asoslanadi.

- Shartli o’rta qiymat deb, U ning Xx qiymatga mos qiymatlarining arifmetik o’rta qiymatiga aytiladi.

Agar x ning har bir qiymatiga ning bitta qiymati mos kelsa, u xolda qiymat x ning funksiyasidir. Bu vaziyatda biz U tasodifiy miqdor X miqdorga korrelyastion bog’langan deymiz.

- U ning X ga korrelyastion bog’liqligi deb, shartli o’rta qiymatning x ga funkstional bog’lanishiga aytiladi va uni

(1)

kabi yoziladi.

(1) tenglama U ning X ga regressiya tenglamasi deyiladi. f(x) funksiyani U ning X ga regressiyasi deyilib, uning grafigini U ning X ga regressiya chizigi deyiladi.

shartli o’rta qiymat, X ning U ga regressiya tenglamasi

, (2)

X ning U ga regressiya Chiziqlari xam yukoridagi kabi aniqlanadi.

Eslatib utamiz, bu yerda f(x) va funksiyalar uzaro teskari funksiyalar bulishi shart emas.

X va U tasodifiy miqdorlar korrelyastion bog’lanishda bulib, regressiya chiziqlari to’g’ri chiziqlardan iborat bulganda to’g’ri chiziqli korrelyastiya, ular egri chiziqlardan, masalan, parabola, eksponenstial va xokazo chiziqlardan iborat bulganda egri chiziqli korrelyastiya haqida gapiriladi.

Korrelyastion bog’lanishlar ichida to’g’ri chiziqli korrelyastiya juda ko’p uchraydi. Tasodifiy miqdorlar normal taqsimotga ega bo'lganda ular orasidagi korrelyastion bog’lanish to’g’ri chiziqli bo’lishini isbotlash mumkin.

Tajriba natijalariga asosolanib korrelyastiya formasini aniqlash, regressiya chiziqlari tenglamalarini tuzish, korrelyastiya nazariyasining asosiy masalalaridandir.

Quyida, korrelyastion bog’lanish chiziqli bo’lganda empirik regressiya chiziqlari tenglamalarini tuzish masalasini ko’rib chiqamiz.

Bu tenglamalarni tuzish uchun , , , , parametrlardan foydalaniladi. Ular (X,U) tasodifiy miqdorlar sistemasi ustida utkazilgan tajriba natijalariga asoslanib topiladi. Agar n ta tajriba natijasida (x₁,u₁), (x₂,u₂),,(x_n,u_n) natijalar olingan bo’lsa, aytilgan parametrlar quyidagi tengliklar yordamida topiladi:

_{, ,}

bunda, va

Oxirgi tenglikdagi -korrelyastiya koeffistienti, -korrelyastion moment deb ataladi.

Regressiya to’g’ri chiziqlari tenglamalari ushbu tengliklar yordamida aniqlanadi.

Y ning X ga empirik regressiyasi to’g’ri chizigi:

(3)

X ning Y ga empirik regressiyasi to’g’ri chizigi:

(4)

Shu tenglamalardan birini, masalan, (3) ni asoslaymiz. Biz xisob-kitoblarimizda eng kichik kvadratlar usulidan foydalanamiz.

Aytaylik, (X,Y) tasodifiy miqdorlar sistemasi ustida ta erkli sinovlar utkazilib, natijada

( ), ( ), ..., ( ) (5)

nuqtalar xosil qilingan bulsin.

Grafigi shu nuqtalardan mumkin qadar kam og’adigan, ya’ni deyarli shu nuqtalardan o’tadigan

(6)

to’g’ri chiziq tenglamasini tuzish masalasini qaraylik.

Bu yerda masala yechimiga olib keluvchi eng maqbul yo’l eng kichik kvadratlar usulidan foydalanishdir. Bu usulga ko’ra (6) to’g’ri chiziqni shunday izlanadiki, bunda (5) tajribaviy nuqtalarning bu to’g’ri Chiziqdan og’ishlari kvadratlarning yigindisi

(7)

ifoda minimal bo’lsin.

(7) ifodani larga nisbatan funksiya sifatida qarash mumkin. Uni

Ko’rinishida yozib olamiz. Bu funksiyaning minimumga olib keluvchi qiymatlarini topish uchun va lar bo’yicha xususiy hosilalarni topib, ularni nolga tenglaymiz.

Bu tengliklarni soddalashtirib

sistemani xosil qilamiz. Bu sistema larga nisbatan chiziqli tenglamalar sistemasidir. Bu sistemaga kiruvchi tenglamalarning har birini ikkala tomonini ga bo’lib,

munosabatga ega bo’lamiz. Bundan

sistemaga kelamiz.

Bu sistemani yechib

larni topamiz.

Shunday qilib y ning x ga biz izlayotgan bog’liqligi

Ko’rinishga ega ekan.

Bundan

oxirgi yozuvga kelishimiz mumkin.

Umuman olganda korrelyastion bog’lanishning formulasini aniqlashda, yana uning chiziqli yoki chiziqli emasligi, agar chiziqli bo’lmasa, qanday funksiya eng yaxshi yaqinlashishni berishi masalasi bir muncha chuqur matematik va statistik muloxazalarga asoslanib belgilanadi.

Korrelyastiya egri chiziqli bo’lgan xolda ham taqriban olingan regressiya tenglamasini eng kichik kvadratlar metodidan foydalanib aniqlashtirish mumkin va bu yerda ham asosiy g’oya korrelyastiya to’g’ri chiziqli bo’lgan holdagidan iborat.