Matematika kafedrasi nurmatova gulnoraning

§ 3. Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

(X,Y) tasodifiy vektorning sonli xarakteristikalari sifatida turli tartibdagi momentlar ko‘riladi. Amaliyotda eng ko‘p I va II – tartibli momentlar bilan ifodalanuvchi matematik kutilma, dispersiya va korrelatsion momentlardan foydalaniladi.

Ikki o‘lchovli diskret (X,Y) tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi (MX,MY) bo‘lib, bu yerda

(1)

va .

Agar (X,Y) tasodifiy miqdorlar uzluksiz bo‘lsa, u holda
. (2)
X va Y t.m.larning kovariatsiyasi
(3)
tenglik bilan aniqlanadi. Agar (X,Y) tasodifiy miqdorlar diskret bo‘lsa, uning kovariatsiyasi
, (4)
agar uzluksiz bo‘lsa,
(5)
formulalar orqali hisoblanadi.

Kovariatsiyani quyidagicha hisoblash ham mumkin:

. (6)
Bu tenglik (3) formula va matematik kutilmaning xossalaridan kelib chiqadi:



Kovariatsiya orqali X va Y tasodifiy miqdorlarning dispersiyalarini aniqlash mumkin:

,

.

(X,Y) vektorning kovariatsiya matritsasi

- ifoda bilan aiqlanadi.
Kovariatsiyaning xossalari:

1. ;

2. Agar bo‘lsa, u holda ;

3. Agar X va Y ixtiyoriy t.m.lar bo‘lsa, u holda ;

4. yoki ;

5. yoki

;

6. .

Isboti. 1. (3) dan kelib chiqadi.

2. Agar bo‘lsa, u holda va lar ham bog‘liqsiz bo‘ladi va matematik kutilmaning xossasiga ko‘ra .

3.

.

4. .

5.

6. 3-xossani va t.m.larga qo‘llasak,

.
Dispersiya manfiy bo‘lmasligidan , ya’ni .■

3-xossaga ko‘ra, agar bo‘lsa, X va Y tasodifiy miqdorlar bo‘gliq bo‘ladi. Bu holda X va Y tasodifiy miqdorlar korrelatsiyalangan deyiladi. Lekin ekanligidan X va Y tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi kelib chiqmaydi. Demak, X va Y tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligida ularning korrelatsiyalanmaganligi kelib chiqadi, teskarisi esa har doim ham o‘rinli emas.

X va Y tasodifiy miqdorlarning korrelatsiya koeffitsienti
(7)
formula bilan aniqlanadi.

Korrelyatsiya koeffisiyentining xossalari:

1. , ya’ni ;

2. Agar bo‘lsa, u holda ;

3. Agar bo‘lsa, u holda X va Y t.m.lar chiziqli funksional bog‘liq bo‘ladi, teskarisi ham o‘rinli.

Shunday qilib, bogliqsiz tasodifiy miqdorlar uchun , chiziqli bog‘langan tasodifiy miqdorlar uchun , qolgan hollarda . Agar bo‘lsa, tasodifiy miqdorlar musbat korrelatsiyalangan va aksincha agar bo‘lsa, ular manfiy korrelyatsialangan deyiladi.