Математика институти

N₀ = {0} ∪ N и
N = {1,2,…} . Пусть

^{Pij (n) := Pi} {^{Zn
= j} }
обозначает переходные вероятности процесса из

37

^{состояния i ∈ N в состояние j ∈ N за n ∈ N шагов. Процесс} {^Zn }
определяется вероятностной производящей функцией (ПФ)

k
F(s) = _∑ p s^k, s ∈ [0,1),

где
p_k = P_1k (1) и

^∑k ∈N ^pk
k ∈N₀

0
= 1. Если числовой ряд
^∑k ∈N ^kpk

сходится, то

величина
A := _{∑k ∈N} kp_k
= F ^′(s ↑ 1) = EZ₁
обозначает среднее число прямых

потомков одной частицы. Согласно классификации ветвящихся процессов

{^Zn }
называется докритическим, критическим и надкритическим, если

A < 1, A = 1 и A > 1, соответственно.
^{Обозначим через q вероятность вырождения процесса} {^Zn }

и пусть

β := F ^′(q). В §1.2 для некритического процесса установлена следующая

Теорема 1. Пусть
p₁ ≠ 0 . Если A > 1 или A < 1 и F ^′′(s ↑ 1) < ∞ , то

ij
β⁻ⁿP (n) =
A(0)

j
_∑ µ q^m
_iqi−1_µ
(^{1 + O(1)})^,
n → ∞

m∈N ^m

для всех i, j ∈ N , здесь µ _j
= lim_{n →∞} P_1j (n)
P₁₁(n) < ∞ и

 ₁
A(s) = _
δ−1
⁺  ^,

^q − s
где δ = δ(s) = 2 lim ^R⁻¹(s)βⁿ − (q − s)^−1 .
2^

n →∞ ^{ n }

Определим случайный процесс
_{Z^~n ,n ∈ N_}
с помощью переходных

вероятностей
^P~ij ^{(n) := Pi} {^{Zn
= j n < H < ∞}}^{, здесь случайная величина}

^{H := min}{^{n : Zn
= 0}}
^{обозначает момент вырождения процесса} {^Zn }^{. В}

этом параграфе показано, что процесс Маркова. Введем в рассмотрение ПФ
{^Z~n }
является эргодической цепью

n
^{V(i)(s) =} _∑^P~ij ^{(n)s j .}

j ∈N
^{Известно, что в некритическом случае предел νj := limn→∞ P~}ij ⁽ⁿ⁾

существует

j ^j∈N
и ПФ V(s) = _∑ ν s ^j
удовлетворяет уравнению Шредера
^{1 − V} ^{ F(qs)} ^{= β ⋅} [^{1 − V(s)}]

(1)

 _q ^
 

для всех
s ∈ [0,1) и
^∑j ∈N ^νj
= 1 . Известно, что функция
V(s),

удовлетворяющая уравнению (1), порождает инвариантную меру

относительно
^P~ij ^{(n). В §1.2 найдены явные для ПФ}
V(s). В частности

показано, что в некритическом случае при F ^′′(s ↑ 1) < ∞ ПФ
V(s) = 1 − ^A(qs) ,
A(0)
V(s) имеет вид

38

где функция
A(s)
определена в Теореме 1. Более того, переходные

ij
^{вероятности P (n) и P~}ij ^{(n) удовлетворяют равенству}

^{Pij (n) = P~}ij ^(n)⋅ _∑^Pik
k ∈N
(n)q^k−j .

В §1.3 исследован процесс Г-В без предположения конечности момента F ^′′(s ↑ 1), с помощью теории медленно меняющихся (ММ) функций в смысле Карамата. Элементы теории ММ-функций в исследовании
ветвящихся случайных процессов одним из первых были применены В.Золотаревым. В список ранних работ, где эффективно использованы ММ- функции, можно внести также, работы Р.Слэйка и Е.Сенеты, опубликованные в 70-годы XX века. Подробные материалы, связанные с применениями ММ-функций в теории случайных процессов можно найти в монографиях С.Асмусена и Г.Геринга, а также Н.Бингхама, К.Голди и Дж.Тегелса. Далее всюду символами S₀ и S_∞ обозначим классы ММ-
функций в нуле и на бесконечности, соответственно.
Заметим, что в некритическом случае справедливо соотношение
1 − V(x) = (1 − x)l_ϑ (1 − x), (2)

где
l_ϑ (x) ∈ S₀
и наличие условия
^E[^{Z1 ln Z1} ] ⁼ _∑ ^{pj j ln j < ∞ , [A ]}
j ∈N

n

n
является необходимым и достаточным для существования конечного математического ожидания m := V^′(s ↑ 1).

Введем в рассмотрение ПФ
F (s) = Es^Zn
и обозначим
R_n (s) := 1 − F^{^}(s),

где
F^{^}(s) = F (qs) q
для всех
s ∈ [0,1). В следующей лемме найдено

n n
асимптотическое представление функции R_n (s)
Лемма 1. Пусть A ≠ 1. Тогда:
для некритического случая.

R_n (s) = (1 − s)L_n
(1 − s)⋅ βⁿ ,

где
L_n (x ↓ 0) = 1
для любого n ∈ N и,
L (x) =: L(x) ∈ S₀
при любом

n

0
фиксированном n₀ ∈ N . Если выполнено условие [A], то L_n (1) ↓ 1 m .
Лемма 1 играет важную роль в исследовании асимптотических свойств
некритических ветвящихся процессов Г-В. В частности, поскольку V(0) = 0

a
и q − F_n (qs) = qR_n (s) то, при s = 0
вытекает следующая формула:

где

l_a (s) ∈ S₀
P{n < H < ∞} = q ⋅ l (βⁿ )⋅ βⁿ ,
и если выполнено условие [A], то L_n (1) ↓ 1 m


при n → ∞.

Доказана следующая локальная предельная теорема.

Теорема 2. Пусть A ≠ 1 и
p₁ ≠ 0 . Тогда для всех i, j ∈ N

ij j

a

a
β⁻ⁿ ⋅ P (n) = iqⁱ⁻¹µ V^′(0)⋅ l
(βⁿ ) + O (βⁿ ),
n → ∞,

где
l_a (s) ∈ S₀ . Если выполнено условие [A], то
l (βⁿ ) → 1 m
при n → ∞ .

39

В критическом случае основным предположением является возможность
представления ПФ F(s) в виде

F(s) = s + (1 − s)^1+ν L ^{ 1 }



[^ℜ ]

^1 − s ^{ ν}

для всех
s ∈ [0,1), где 0 < ν ≤ 1 и
L(t) ∈ S_∞ . Это предположение дает

возможность исследовать асимптотические свойства процесса Г-В в случае F ^′′(s ↑ 1) = ∞. В этом случае доказана следующая Основная лемма теории критических ветвящихся процессов Г-В.
^{Лемма 2. Если A = 1 и выполнено условие} [^ℜν ]^{, то}

R_n (s) =
^N (^{n + M(s)}) ^

⋅
1
_— M_n (s)^ _,


_^ νn ^_

где функция
N (n) ∈ S_∞ удовлетворяет следующему условию:
ν ^_(νx)1 ν _^

N (x)⋅ L _{ } →1, x → ∞ . [ N ]

Здесь
^_ N (x) ^_
M_n (s) → M(s) равномерно для всех s ∈ [0,1), где функция M(s) при

условии
^M (^F(0)) ^{= 1}
удовлетворяет уравнению Абеля
^M (^F(s)) ^{= M(s) + 1.}

Для этой функции справедливо соотношение

M(s) =
1 + O(1) _,
ν(1 − s)^ν L ₍1 (1 − s)₎
s ↑ 1 .

Кроме того M_n (0) = 0 и M_n (s ↑ 1) = νn при любом фиксированном n ∈ N .
Лемма 2 играет важную роль в исследовании асимптотических свойств критических ветвящихся процессов Г-В. В частности, с помощью этой леммы доказана следующая предельная теорема.