Matematika-informatika fakulteti

II.BOB. Integral va differensial tengsizliklar
2.1 Integral tengsizliklar
Mazkur bandda ba’zi muhim integral tengsizliklar va ularning qo’llanilishi bilan shug’illanamiz.
2.1-teorema. Agar oraliqda aniqlangan va uzluksiz va funksiyalar uchun
(2.1)
Munosabat o’rinli bo’lsa, ular uchun oraliqda ushbu
yoki (2.2)
Munosabat ham o’rinli bo’ladi.
(2.2) tengsizlik Gronuoll-Bellman tengsizligi deb ataladi.
Isbot. deb belgilaymiz. Ravshanki, . Bundan kelib chiqadi. Endi

Sistemani ko’raylik. Birinchi tenglamaning chap va on’g tomonlaridan mos ravishda ikkinchisini ayrib,(2.1) dan foydalansak,

Bu tengsizlikning ikki tomonini ( ) ga ko’paytirib, dan gacha integrallaymiz:

Chap tomondagi birinchi integralni bo’laklab integrallaymiz:


Bundan

Kelib chiqadi. Endi bu tengsizlikning ikki tomoni ga bo’lsak,

.
Shunday qilib,

(2.1) dan bo’lgani uchun oxirgi munosabat (2.2) ning o’zidir.
Biz quyidagi Gronuoll-Bellman tengsizligining tez-tez uchrab turadigan ikki xususiy holini ta’kidlab o’tamiz.



Shunday qilib,

(2.1) dan bo’lgani uchun ixirgi munosabat(2.2) ning O’zidir.
2.2 -teorema. Agar oraliqda aniqlangan, uzluksiz funksiyalar va biror o’zgarmas son uchun
(2.3)
tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda shu oraliqda
(2.4)
tengsizlik ham o’rinli bo’ldi. Bu tengsizlik Gronuoll tengsizligi deb yuritiladi.
2.3 - teorema. Agar oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiya uchun ixtiyoriy o’zgarmas bo’lganda
(2.5)
tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda oraliqda
1) (agar bo’lsa);
2) (agar bo’lsa)
tengsizliklar ham o’rinli bo’ladi.
Endi Gronuoll tengsizligi qo’llaniladigan yagonalikni isbotlashga doir masala ko’raylik. Biror oraliqda aniqlangan va funksiyalar mos ravishda Ushbu

Koshi masalalarining yechimi bo’lsin, bunda Bu hol ushbu


Integral ayinyatlar o’rinli.Bundan quydagiga ega bo’lamiz:

deb oraliqda uzluksiz va ikkinchi argumenti bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantiradigan ikki argumentli funksiyalar to’plamini belgilaylik.Agar ya’ni va uchun

tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda yuqoridagi tengsizlikni

ko’rinishida yozish mumkin. Agar
desak, bo’lgani uchun

tengsizlikka Gronuoll tengsizlikini tatbiq etib, ushbu

Munosabatni hosil qilamiz.Bundan , va oxirgi tengsizlikdan ya’ni ayinyat kelib chiqadi.
Agar oraliqda shunday uzluksiz funksiya mavjud bo’lsaki,

nuqtalar uchun ushbu

tengsizlik o’rinli bo’lsa, avvalgidek mulohazalar yordamida

tengsizlikka kelamiz.
Bundan Gronuol tengsizligini tadbiq etib

Munosabatni hosil qilamiz. Agar bo’lsa, bundan
ayniyat kelib chiqadi.
Mazkur band so’ngida yagonalik haqidagi yana bir muhim teoremani keltiramiz.