Matematika-informatika fakulteti matematik fanidan

Misol 2. Matritsaning teskarisini hisoblang

Yechish. O'ng tarafdagi A matritsaga o'ziga xoslik matritsasini belgilaymiz va A matritsani elementar o'zgartirishlar orqali tenglik matritsasiga kamaytiramiz.

Javob:
3-§ Elementar matritsalar va ularning xossalari
Elementar matritsalar - bu identifikatsiya matritsasidan bitta elementar transformatsiya yordamida olinadigan matritsalar.
Shunday qilib, elementar matritsalar identifikatsiya matritsasidan quyidagi elementar transformatsiyalar yordamida olinadi:
1) ikki qatorni ( va ) oʻrinlarda almashtirish;
2) qandaydir qatorni ( ) soniga ko'paytirish;
3) ba'zi qatorga ( ) boshqa qatorni ( ) qo'shish, soniga ko'paytiriladi. Ular mos ravishda quyidagi ko'rinishga ega (birinchi - har birida quyidagi elementar matritsalar olinadigan o'ziga xoslik matritsasi matritsaning va qatorlari va va ustunlari):


, , ,

Elementar matritsalar quyidagi xossalarga ega:
1.Elementar matritsalarning determinantlari nolga teng emas:
, ,
2. Elementar matritsalar teskari, elementar matritsalar uchun esa teskari matritsalar elementar matritsalardir:
, ,
3. Agar - tartibli matritsa chap tomonda tartibli elementar matritsaga ko'paytirilsa, u holda matritsa bilan elementar o'zgarish sodir bo'ladi, uning yordamida elementar matritsa o'ziga xos matritsadan olinadi. Aniqlovchining xossalaridan 1-xossa kelib chiqadi, 2-xossa 5-teorema algoritmi yordamida teskari matritsalarni to‘g‘ridan-to‘g‘ri hisoblash yo‘li bilan isbotlanadi, 3-xususiyat Chap matritsani elementar matritsalarga ko‘paytirish yo‘li bilan tasdiqlanadi.
Теорема 1. Har qanday yagona bo'lmagan matritsa uchun elementar matritsalar ketma-ketligi mavjud
, (1)
Isbot. 1-bo'limning 1-teoremasiga ko'ra, elementar o'zgarishlarning bunday ketma-ketligi mavjud matritsani tarjima qiluvchi qatorlar  tartibi  bosqichli matritsaga aylanadi. Elementar transformatsiyalar matritsa determinantini nolga aylantirmaganligi sababli, nol qatorli matritsa hech qachon olinmaydi va matritsa qatorlari bekor qilinmaydi. Demak, matritsa bosqichli tartibli kvadrat matritsadir.Elementar transformatsiyalar elementar matritsalarga mos keladi.  matritsani  dan  ga , dan ga va boshqalarni -1 ni ga keltiramiz.
Keyin:
(2)
bu erda - shaklning bosqichli (uchburchak) matritsasi:
, , , … , .
Ushbu matritsaning qatorlarini mos ravishda raqamlarga ko'paytrsak

keyin matritsasi quyidagi shaklga o'zgaradi yani matritsaga o’zgaradi
, ;


matritsasini identifikatsiya matritsasiga keltiramiz. Buning uchun biz ko'paytiramiz, matritsaning ( ) - qatoriga 1, 2,3,…. larni qo'shamiz, -qator, mos ravishda raqamlarga ko'paytiriladi, biz oxirgi ustundagi barcha nollarni olamiz. matritsasi, - qator elementidan tashqari ( matritsasining barcha boshqa elementlari o'zgarmaydi). Xuddi shunday, elementar o'zgarishlarni davom ettirib, biz matritsasidan o'ziga xoslik matritsasini olamiz
Shuning uchun elementar o'zgarishlarning bunday ketma-ketligi mavjud - tartibli matritsasini matritsaga o‘tkazuvchi qatorlar. Elementar o‘zgarishlar , ,..., elementar matritsalarga mos keladi. xaritasi dan gacha, xaritasi dan gacha va hokazo xaritasi -u dan gacha bo'lsa.

bu kep chiqadi. Bu tenglikni (2) formulaga almashtirsak, shuni topamiz