Matematika” fakulteti “amaliy matematika va informatika” kafedrasi “funksional analiz” fanidan

Banax fazosida qo`shma operatorlar

X chiziqli normalangan fazoni Y chiziqli normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli uzluksiz A operator berilgan bo`lsin, ya'ni

A : X → Y, y = Ax ∈ Y, D(A) = X.

Bizga ixtiyoriy g : Y → C chiziqli chegaralangan funksional berilgan

bo`lsin. Bu funksionalning y = Ax elementga ta'sirini qaraymiz g(y) =
g(Ax). Osongina ko`rsatish mumkinki, g(Ax) funksional X da aniqlangan
biror chiziqli f funksionalni aniqlaydi. Shunday qilib,

g(Ax) = f(x). (33.1)

Endi (33.1) tenglik bilan aniqlangan f funksionalning chiziqli ekanligini ko`rsatamiz:

f(α1x1 + α2x2) = g(A(α1x1 + α2x2)) = g(α1Ax1 + α2Ax2)=α1g(Ax1) + α2g(Ax2) = α1f(x1) + +α2f(x2). (33.2)

(33.2) tenglik barcha x1, x2 ∈ X va ixtiyoriy α1, α2 ∈ C lar uchun o`rinli. Demak, f chiziqli funksional ekan. Endi uning chegaralangan ekanligini (uzluksizligini) ko`rsatamiz. Ixtiyoriy x ∈ X uchun

|f(x)| = |g(Ax)| ≤ k gk · k A xk ≤ k gk · k A k · k x k

tengsizlik o`rinli. Bu yerdan f funksionalning chegaralanganligi kelib chiqadi.

Agar f funksionalning x nuqtadagi qiymatini (f, x) deb belgilasak, u holda

(f, x) = (g, Ax). (33.3)

33.1-ta'rif. Bizga X, Y − chiziqli normalangan fazolar va A : X → Y
chiziqli chegaralangan operator berilgan bo`lsin. Agar biror A∗ : Y ∗ → X∗ operator va barcha x ∈ X, g ∈ Y∗ lar uchun (g, Ax) = (A∗g, x)
tenglik o`rinli bo`lsa, A∗ operator A ga qo`shma operator deyiladi.
Demak, har bir g ∈ Y∗ funksionalga (33.3) tenglik bilan aniqlanuvchi
f ∈ X∗ funksionalni mos qo`yuvchi A∗ : Y ∗ → X∗ operator A operatorga qo`shma operator deyiladi.

Qo`shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:

1. A∗ operator chiziqli.

2. (A + B)∗ = A∗ + B∗.

3. Ixtiyoriy k son uchun (kA)∗ = kA∗.

4. Agar A uzluksiz bo`lsa, u holda A∗ ham uzluksiz bo`ladi.

Aniqrog`i, quyidagi tasdiq o`rinli.

33.1-teorema.

Agar A ∈ L(X, Y ) bo`lsa, u holda A∗ ∈ L(Y ∗, X∗) bo`ladi va kA∗k = kA k tenglik o`rinli.

Isbot. Funksional hamda operator normasining xossalariga ko`ra,

|(A∗g, x)| = |(g, Ax)| ≤ kgk kAx k ≤ kAk kgk k x k .

Bu yerdan

kA∗gk ≤ kA k kgk

tengsizlikka ega bo`lamiz. Demak,

kA∗k ≤ kA k (33.4)

Endi x ∈ X, Ax 6= θ shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy element bo`lsin,

y0 =AxkAx k ∈ Y deymiz. Ko`rinib turibdiki, ky0k = 1. Xan-Banax teoremasining
30.1-natijasiga ko`ra, shunday g : Y → C funksional mavjudki, kg k = 1 va

g(y0) = ky0k = 1, ya'ni g(y0) = g µkAx Axk¶ = k Ax 1 kg(Ax) = 1.

Bu yerdan,

g(Ax) = kAx k

tenglikka ega bo`lamiz. U holda

kAxk = g(Ax) = | (A∗g)(x) | ≤ kA∗gk kx k ≤ kA∗k kgk kxk = kA∗k kx k

munosabatdan

k A k ≤ kA∗ k (33.5)

tengsizlikni olamiz. (33.4) va (33.5) munosabatlardan

k A k = kA∗ k

tenglik kelib chiqadi.