Matematika” fakulteti “amaliy matematika va informatika” kafedrasi

jinsli deb ataladi.
Additiv va bir jinsli funksionalni chiziqli deb ataladi. Boshqacha
aytganda, L chiziqli fazoda aniqlangan g(x) funksional xohlagan x, y ∈
L elementlar va α, β sonlar uchun g(αx+βy) = αg(x)+βg(y) tengligini
qanoatlantirsa, u holda chiziqli deb ataladi.
8. a = (a1, a2, . . . , an) ∈ tayinlangan vektor bo‘lsa, u holda
ko‘rinishda aniqlangan akslantirish Rn da chiziqli funksional bo‘ladi. Haqiqatan, xohlagan
x = (x1, x2, . . . , xn) y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn
elementlar va xohlagan α, β sonlar uchun
f(αx+βy) = (axi + βyi)= α xi+β , yi = αf(x)+βf(y).
9. C[a, b] fazosida chiziqli funksional sifatida f(x) =bZa x(t) dt
integralini qarash mumkin. Bu funksionalning chiziqli ekanligi integralning xossalaridan kelib chiqadi.
10. k tayinlangan natural son bo‘lsin. `2 har bir x =
(x1, x2, . . . , xn, . . .) elementi uchun fk(x) = xk deb olsak, bu funksional
chiziqli bo‘ladi. Haqiqatan, xohlagan
x = (x1, x2, . . . , xn, . . .), y = (y1, y2, . . . , yn, . . .) ∈ l2
elementlar va xohlagan α, β sonlar uchun
fk(αx + βy) = αxk + βyk = αf(x) + βf(y)
tengligi o‘rinli.
L chiziqli fazoning H xos qism fazosi uchun shunday x0 ∈ L element
topilib, L = L (H, x0) tengligi o‘rinli bo‘lsa, bunda L (H, x0) – H
to‘plam va x0 elementning chiziqli qobig‘i, u holda H giperqism fazo
deb ataladi. L chiziqli fazodagi
x + H (x ∈ L, H − qism fazo)
ko‘rinishdagi to‘plamga gipertekislik deb ataymiz.
H = g−1(0) giperqism fazo g funksionalning yadrosi deb ataladi va
ker g ko‘rinishda belgilanadi.
L haqiqiy chiziqli fazoning biror L0 qism fazosida f0 chiziqli funksionali berilgan bo‘lsin. Agar L fazosida aniqlangan f funksionali uchun
x ∈ L0 bo‘lganda f(x) = f0(x) tengligi o‘rinli bo‘lsa, u holda f funksionali f0 funksionalning davomi deb ataladi.
L chiziqli fazosida aniqlangan p funksional berilgan bo‘lib, barcha
x, y ∈ L elementlar va barcha α ∈ [0, 1] sonlari uchun
p(αx + (1 − α)y) ≤ αp(x) + (1 − α)p(y)
tengsizligi o‘rinli bo‘lsa p funksionali qavariq deb ataladi. Agar xohlagan x ∈ L elementlar va barcha α > 0 sonlari uchun p(αx) = αp(x)
tengligi o‘rinli bo‘lsa, p funksional musbat bir jinsli deyiladi. Musbat
bir jinsli qavariq funksionalni bir jinsli qavariq deb ataymiz.
L chiziqli fazo, A ⊂ E qavariq to‘plam va x ∈ A bo‘lsin. Agar
x = 1
2(y + z), y, z ∈ A tengligidan, x = y = z kelib chiqsa, u holda x
nuqta A to‘plamning ekstremal nuqtasi deyiladi. A to‘plamning barcha
ekstremal nuqtalari to‘plami extA kabi belgilanadi va u to‘plamning
ekstremal chegarasi deyiladi. Masalan, [0, 1] kesma uchun ext[0, 1] =
{0, 1}.

2. 
   Normalangan fazolar
   

K maydon ustidagi X chiziqli fazoning har bir x elementiga nomanfiy

kxk haqiqiy soni mos qo‘yilgan bo‘lib, bu moslik quyidagi shartlarni
qanoatlantirsin:
1. kxk = 0 ⇔ x = 0;
2. kλxk = |λ|kxk, ∀ λ ∈ K, x ∈ X;
3.kx + yk ≤ kxk + kyk, x, y ∈ X.
U holda X fazoni normalangan fazo deb ataymiz. kxk soni esa x
elementning normasi deb ataladi.
Agar ρ(x, y) bilan kx − yk sonini belgilasak, u holda ρ(x, y) metrika
boladi. Haqiqatan,
1) ρ(x, y) = kx − yk = 0 ⇔ x = y;
2) ρ(x, y) = kx − yk = k(−1)(y − x)k = | − 1|ky − xk = ky − xk =
ρ(y, x);
3) ρ(x, y) = kx − yk = kx − z + z − yk ≤ kx − zk + kz − yk =
ρ(x, z) + ρ(z, y).
Demak, ixtiyoriy normalangan fazo metrik fazo bo‘ladi. Shuning
uchun metrik fazolarda kiritilgan tushunchalarga normalangan fazolarda ham ta’rif berishga bo‘ladi.
Aytaylik, X normalangan fazo va x0 ∈ X bo‘lsin. Metrik fazolardagi
kabi markazi x0 nuqtada va radiusi r > 0 ga teng ochiq (yopiq) shar
deb
B(x0, r) = {x ∈ X : kx−x0k < r} (B[x0, r] = {x ∈ X : kx − x0k ≤ r})
to‘plamga, markazi x0 nuqtada va radiusi r > 0 ga teng sfera deb
S(x0, r) = {x ∈ X : kx − x0k = r} to‘plamga aytiladi.
x0 nuqtaning ε > 0 atrofi deb B(x0, ε) ochiq sharga aytamiz va uni O ε(x0) kabi belgilaymiz. Atrof tushunchasi kiritilgandan keyin urinish, limit, yakkalangan nuqtalar; ketma-ketlikning yaqinlashuvchiligi, fundamental ketma ketlik, to‘plamning yopilmasi, to‘plamning ichi, ochiq to‘plam, yopiq to‘plam tushunchalariga metrik fazolardagi kabi ta’rif beriladi.
To‘la normalangan fazo Banax fazosi deb ataladi.
Ta’rif. X Banax fazosi va Y ⊂ X bo‘lsin. Agar [Y ] = X bo‘lsa, u
holda X fazo Y fazoning to‘ldiruvchisi deb ataladi.
L normalangan fazoning L0 chiziqli qism fazosi yopiq bo‘lsa, u holda
L0 to‘plamni L fazoning qism fazosi deb ataymiz.
{xα} sistemani o‘z ichiga oluvchi eng kichik yopiq qism fazo, shu
sistemaning chiziqli qobig‘i deb ataladi va L ({xα}) ko‘rinishda belgilanadi. Agar L ({xα}) = L bo‘lsa, u holda {xα} sistema to‘la deyiladi.
Ta’rif. Aytaylik X haqiqiy chiziqli fazo bo‘lib, uning har bir x elementiga
haqiqiy, ||x|| orqali belgilangan sonni mos qo‘yuvchi ||⋅||:X→R akslantirish
berilgan bo‘lsin. Agar bu akslantirish
1. Har doim ||x||≥0. Shuningdek, x=θ uchun ||x||=0 va aksincha, agar ||x||=0
bo‘lsa, u holda x=θ;
2. Ixtiyoriy λ son uchun ||λx||=|λ|⋅||x||;
3. Ixtiyoriy ikki x va y elementlar uchun ||x+y||≤||x||+||y||
shartlarni qanoatlantirsa, u norma deyiladi.
Bu shartlar norma aksiomalari deb ham yuritiladi. Uchinchi shart
uchburchak aksiomasi deyiladi.
Norma kiritilgan chiziqli fazo normalangan fazo deyiladi. Odatda ||x|| son
x elementning normasi deyiladi. Agar ρ(x,y)=||x-y|| belgilash kiritsak, u holda
ρ(x,y) metpika ekanligi bevosita ko‘rinib turibdi. Demak, har qanday normalangan
fazo metrik fazo bo‘ladi.
Aytaylik X normalangan fazo bo‘lsin.
Ta’rif. Nol, θ elementning ε>0 atrofi deb, U={x: ||x||<ε} to‘plamga
aytiladi.
Bu kiritilgan U to‘plam, norma yordamida aniqlangan metrika tilida,
markazi θ nuqtada, radiusi ε bo‘lgan ochiq shar deyiladi.
Shuningdek, x∈X elementning ε atrofi deb x+U to‘plamga aytiladi.
Eslatib o‘tish lozim, V={x: ||x||≤ε} to‘plam markazi θ nuqtada, radiusi ε
bo‘lgan yopiq shar deyiladi.
Kelgusida, X1={x: ||x||≤1} to‘plam X normalangan fazoning birlik shari
deyiladi.
Normalangan fazolar metrik fazolarning xususiy holi bo‘lgani uchun,
normalangan fazolarning to‘la yoki to‘la emasligi haqida gap yuritish mumkin.
Norma yordamida fazoning to‘laligi quyidagicha ifodalanadi:
Aytaylik X normalangan fazoda {xn} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. Agar biror x element uchun {||xn-x||} sonli ketma-ketlikning limiti 0
ga teng bo‘lsa, u holda {xn} ketma-ketlik x ga yaqinlashadi deyiladi va xn→x kabi
belgilanadi.
Shuningdek, agar {||xn-xn+m||} sonli ketma-ketlikning limiti, ixtiyoriy m
uchun 0 ga teng bo‘lsa, u holda {xn} ketma-ketlik fundamental deyiladi.
Agar X normalangan fazoda ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik
yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda bu fazo to‘la deyiladi.
To‘la normalangan fazo qisqacha Banax fazosi yoki B-fazo deyiladi va
normalangan fazolar ichida muhim rol o‘ynaydi.
Misollar. 1) Agar x haqiqiy son uchun ||x||=|x| deb olsak, u holda R 1 chiziqli
fazo, ya’ni to‘g‘ri chiziq normalangan fazo bo‘ladi.
Teorema. C(X) fazo kiritilgan normaga nisbatan Banax fazosi bo‘ladi.
Isboti. Aytaylik { fn( ) x } fundamental ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Ya’ni, ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday N natural son topiladiki, ixtiyoriy m n N , ≥ uchun n m xfxf )()( <− ε tengsizlik hamma x nuqtalarda bajariladi. Bitta х∈ Х nuqtani
tayinlab, { fn( ) x } conli ketma-ketlikni qarasak u fundemental bo‘ladi. Demak, { fn( ) x } biror f ( ) x songa yaqinlashadi.
Yuqoridagi tengsizlikda t bo‘yicha limitga o‘tsak, f x f x n( ) ( ) , − ≤ ε ya’ni f f n − ≤ ε munosabat hosil bo‘ladi. Demak, { n xf )( } ketma–ketlik f ( ) x funksiyaga yaqinlashadi. Endi f ( ) x ning uzluksizligini isbotlash kifoya.
Ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday m con topiladiki, m 3 f f − < ε tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Ushbu m conni tayinlab olsak, fm( ) x funksiya ixtiyoriy x0 nuqtada
uzluksiz bo‘ladi, ya’ni x0 nuqtaning shunday x0 Ux0 atrofi topiladiki, ixtiyoriy х∈U nuqtada | fm(x)- fm(x0) |< ε\3 tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

3. 
   Evklid va Hilbert fazolari
   

Haqiqiy L chiziqli fazosining {x, y} juft elementlarida aniqlangan,

hx, yi ko‘rinishda belgilanuvchi va quyidagi to‘rt shartlarni (aksioma-
larni) qanoatlantiruvchi funksiya skalyar ko‘paytma deb ataladi:
1) hx, yi = hy, xi;
2) hx1 + x2, yi = hx1, yi + hx2, yi;
3) hλx, yi = λhx, yi, λ ∈ R;
4) hx, xi ≥ 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0.
Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazoda normani
kxk = phx, xi ko‘rinishda kiritish mumkin. Bu normalangan fazo Evklid fazosi deyiladi. Norma aksiomalarini tekshiramiz:
1) kxk = phx, xi = 0 ⇔ hx, xi = 0 ⇔ x = 0;
2)kλxk = phλx, λxi = pλhx, λxi = pλhλx, xi = pλ2hx, xi = |λ|phx, xi = |λ|kxk;
3) Xohlagan λ son uchunhλx + y, λx + yi ≥ 0.Bundan λ2hx, xi + 2λhx, yi + hy, yi ≥ 0. Demak, kvadrat uchhadning determinanti manfiydir:
D = 4^2 – 4<y, y>≤0,
ya’ni ^2 ≤, yoki || ≤ kxkkyk.
Oxirgi tengsizlik Koshi — Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi. Bu tengsizlikdan foydalanib, ushbu kx + yk2 = hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi ≤ ≤ kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 tengsizligiga ega bo‘lamiz. Natijada kx + yk ≤ kxk + kyk.
Evklid fazosida skalyar ko‘paytma yordamida x va y vektorlar orasida
burchak tushunchasi quyidagicha aniqlanadi: cos ϕ =hx, yikxkkyk. (4.9) hx, yi ≤ kxkkyk bo‘lgani uchun, hx, yi kxkkyk ≤ 1. Demak, (4.9) formula nolga teng bo‘lmagan x va y vektorlar orasidagi ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) burchakni aniqlaydi.
Agar = 0 bo‘lsa, u holda x va y vektorlar ortogonal deb ataladi
va x ⊥ y ko‘rinishda yoziladi. Bu holda (4.9) dan ϕ = π 2 ekanligi kelib
chiqadi.
L evklid fazosida noldan farqli vektorlarning {xα} sistemasi berilgan
bo‘lib, α 6= β bo‘lganda hxα, xβi = 0 bo‘lsa, u holda {xα} ortogonal
sistema deb ataladi.
Agar {xα} ortogonal sistema to‘la bo‘lsa, u holda u ortogonal bazis
deyiladi.
Agar {xα} sistema uchun hxα, xβi = ½ 0 1,, agar agar α α 6= = β, β sharti o‘rinli bo‘lsa, u holda u ortonormal sistema deb ataladi.
Ta’rif. To‘la evklid fazosi Hilbert fazosi deb ataladi va u odatda H
bilan belgilanadi.
H Hilbert fazosida {xα} ortonormal sistema berilgan bo‘lsin. x ∈ H
elementi uchun c α = hx, xαi sonlar, berilgan ortonormal sistema bo‘yicha Fure koeffitsientlari deb ataladi. Ushbu P α c αxα qator bo‘lsa, x elementning Fure qatori deyiladi.
Endi biz normalangan fazoning xususiy holi bo‘lgan va funksional analizda keng qo‘llaniladigan Evklid fazosini ko‘rib chiqamiz.
Ta’rif. Haqiqiy E chiziqli fazoning ikki x va y elementlari uchun aniqlangan,
(x,y) ko‘rinishida belgilanadi.
Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi. Skalyar ko‘paytma yordami bilan Evklid fazosida norma quyidagicha kiritiladi:
Normaning birinchi sharti skalyar ko‘paytmaning to‘rtinchi aksiomasidan
bevosita kelib chiqadi. Normaning ikkinchi sharti skalyar ko‘paytmaning uchinchi
aksiomasi natijasidir.
Agar (x,y)=0 bo‘lsa, u holda φ = π\2 bo‘ladi. Bu holda x va y elementlar ortogonal deb ataladi.
Agar x element A to‘plamning har bir elementiga ortogonal bo‘lsa, u holda x
element A to‘plamiga ortogonal deyiladi va x⊥A kabi belgilanadi.
A1 to‘plamining har bir elementi A2 to‘plamining ixtiyoriy elementiga
ortogonal bo‘lsa, A1 va A2 to‘plamlar ortogonal deyiladi va A1⊥A2 bilan
belgilanadi.
Evklid fazosining ayrim xossalarini keltiramiz.

1. 
   Agar хп п → → х у у , norma ma’nosida yaqinlashsa, u holda
   ( , ) ( , ) хп п у х → у bo‘ladi (skalyar ko‘paytmaning uzluksizligi).
   

Evklid fazosini normalangan fazo sifatida qarasak, u to‘la bo‘lishi yoki bo‘lmasligi mumkin. Agar E Evklid fazosi to‘la bo‘lmasa, u holda uning to‘ldiruvchisi bo‘lgan Banax fazosini E ˆ bilan belgilaymiz.