Matematika (analitik geometriya elementlari)

 
2. Yo’nalgan kesmalar ustida chiziqli amallar 
 
Avvalo  yo’nalgan  kesmalarning  tengligi  tushunchasini 
aniqlaymiz. Yo’nalgan kesmalarni o’q bo’ylab uning yunalishi 
va  uzunligini  o’zgartirmasdan  siljitish  mumkin  deb 
hisoblaymiz. 
5-ta’rif.
  Agar  o’q  bo’ylab  siljitilganda  nol  bo’lmagan 
ikki  yo’nalgan  kesmalarning  boshidagi  va  oxiridagi  nuqtalari 
ustma-ust tushsa, bu kesmalar 
o’zaro teng
 deyiladi. 
Tasdiq.
  Ikki  yo’nalgan  kesmaning  o’zaro  teng  bo’lishi 
uchun ularning kattaliklari o’zaro teng bo’lishi zarur va yetarli. 
Yo’nalgan  kesmalarni  qo’shish  va  haqiqiy  songa 
ko’paytirish  amallarini  yunalgan  kesmalar  ustida 
chiziqli 
amallar
 deymiz. 
AB
  va 
CD
  yo’nalgan  kesmalar  berilgan  bo’lsin. 
Ularning  yig’indisini  topish  uchun 
CD
  kesmaning  boshini 
AB
 kesmaning oxiriga qo’yamiz (2-chizma)    
                      
C
              
D
 
             
                    
A
               
B
  
2-chizma 
Bu  holda  hosil  bo’lgan 
AD
  kesma 
AB
  va 
CD
 
yo’nalgan 
kesmalarning yig’indisi
 deyiladi va 
AB
 + 
CD
 kabi 
yoziladi. 
Quyidagi teorema o’rinli. 

---

6 
1-teorema.
  Yo’nalgan  kesmalar  yig’indisining  kattaligi, 
qo’shiluvchi kesmalar kattaliklarining yig’indisiga teng. 
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.   
Natija.
 
A
, 
B
  va 
C
  nuqtalar  sonlar  o’qi  ustida  qanday 
joylashmasin, 
AB
, 
BC
  va 
AC
  yo’nalgan  kesmalar 
kattaliklari 
                              
A B
+
B
C
=
A
C
 
 
tenglikni qanoatlantiradi. Bu asosiy ayniyat deb ataladi. 
 
Endi  yo’nalgan  kesmani 

  haqiqiy  songa  ko’paytirish 
amalini qaraymiz. 
 
AB
  yo’nalgan  kesma  va 
0


  haqiqiy  son  berilgan 
bo’lsin. 
AB
  yo’nalgan  kesmaning 

 
haqiqiy  songa 
ko’paytmasi
  deb,  quyidagi  shartlarni  qanoatlantiruvchi 

AB
 
yo’nalgan kesmaga aytiladi: 
 
Agar 

>0 bo’lsa, 

AB
 kesma 
AB
 kesma bilan bir 
xil 
yo’nalishda, 
agar 

<0 
bo’lsa, 
qarama-qarshi 
yo’nalishdadir. 

AB
  yo’nalgan  kesmaning  uzunligi 

  bilan 
AB
  ning 
uzunligi ko’paytmasiga teng, yani 

AB
 ga teng.