Matematik statistika predmeti Bosh va tanlanma to‘plam

3 Empirik taqsimot funksiya

Faraz qilaylik, taqsimot funksiyasi F(x) bo‘lgan X t.m. kuzatilayotgan bo‘lsin. ( ) – vektor esa unga mos hajmi n ga teng bo‘lgan tanlanma bo‘lsin. Shu vektorning biron-bir aniq qiymati:


(6.3.1)


X t.m.ning amalga oshgan qiymati deyiladi. Har qanday tajriba natijalari (6.3.1) qatordan iborat bo‘lgan sonlar to‘plami bo‘ladi.

• 
  Birinchi satri tajriba nomerlari, ikkinchisi esa X ning mos amaldagi qiymatlaridan iborat bo‘lgan quyidagi jadvalga
  

1	2	3	…	n
			…

statistik qator deb ataladi. Statistik qator turli maqsadlarda va turli usullar bilan tahlil qilinishi mumkin. Mana shunday tahlilning maqsadi X t.m.ning empirik(yoki statistik) taqsimot funksiyasini tuzishdan iborat bo‘lishi mumkin.
(6.3.1) qatorni kamaymasligi bo‘yicha tartiblaymiz:


(6.3.2)

hosil bo‘lgan (6.3.2) qator variatsion qator deyiladi.

Ixtiyoriy statistik qator (6.3.1) yordamida empirik yoki tanlanma taqsimot funksiyasi aniqlanishi mumkin.

• 
  Quyidagicha
  

(6.3.3)

aniqlangan funksiya empirik(yoki tanlanma) taqsimot funksiyasi deyiladi. Bu yerda I(A) orqali A hodisa indikatori belgilangan. Statistik qator (6.3.1) t.m.lardan iborat bo‘lgani uchun, empirik taqsimot funksiya ham har bir tayinlangan x da t.m. bo‘ladi.

6.1-misol. Uzoqlikni o‘lchovchi asbob bilan ma’lum masofa o‘lchanganda tasodifiy xatolikka yo‘l qo‘yildi. Tajriba 20 marta takrorlanganda yo‘l qo‘yilgan xatoliklar statistik taqsimot funksiyasini tuzing. Statistik qator quyidagicha bo‘lsin:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	5	-8	10	15	3	-6	-15	20	12	15

i	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	-4	-2	20	14	-8	-12	16	10	-5	18

Eng kichik kuzatilma -15. Demak, . -15 bir marta kuzatildi, demak, uning chastotasi . Shuning uchiun, -15 nuqtada empirik taqsimot funksiya ga teng bo‘lgan sakrashga ega, -15 nuqtadan -12 nuqtagacha bo‘lgan oraliqda funksiya ga teng. -12 niqtada empirik taqsimot funksiya ga teng bo‘lgan sakrashga ega, -12 nuqtadan -8 nuqtagacha bo‘lgan oraliqda funksiya ga teng. -8 niqtada empirik taqsimot funksiya ga teng bo‘lgan sakrashga ega, chunki -8 qiymat ikki marta uchraydi va hokazo. Empirik taqsimot funksiya grafigini chizamiz.

34-rasm.

Har qanday t.m.ning empirik taqsimot funksiyasi kuzatilgan nuqtalarda shu kuzatilmaning chastotasiga teng va sakrashga ega bo‘lgan pog‘onali, uzlukli funksiyadan iborat bo‘ladi.

Bernulli teoremasiga asosan tajribalar soni n cheksiz o‘sganda hodisaning chastotasi shu hodisaning ehtimolligiga intiladi. Bu esa empirik taqsimot funksiyaning n cheksizlikka intilganda haqiqiy taqsimot funksiya ga istalgancha yaqin bo‘lishini anglatadi.
Empirik taqsimot haqida quyidagi tasdiqni keltirish mumkin.
Teorema(Glivenko-Kantelli). Ixtiyoriy uchun quyidagi munosabat o‘rinli

Demak n ortgani sari funksiya ga barcha x larda 1 ehtimollik bilan tekis yaqinlashar ekan.