Matematik statistika elementlari. Emperik taqsimot funksiyasi va uning xossalari. Tanlanma xarakteristikalari va ularning taqsimot qonunlari. Tanlanma taqsimotlari parametrlarining nuqtaviy va intervallik baholari. Reja

Tanlanmaning statistik taqsimoti

Bosh to’plamdan tanlanma olingan. Bunda x₁ qiymat n₁ marta, x_2­ qiymat n₂ marta va hokazo x_k qiymat, n_k marta kuzatilgan, bunda ni = n bo’lib, n-tanlanma to’plam hajmi, n_i- chastotalari bo’lsin. Kuzatilgan x_i qiymatlar variantalar, variantlarning ortib borishi tartibida yozilgan ketma-ketligi esa variatsion qator deyiladi. Chastotalarni, tanlanma to’plamning hajmiga nisbati n_i /n=w_i yani nisbiy chastotalar deyiladi.

Tanlanmaning statistik taqsimoti deb, variantalar va ularga mos chastotalar yoki nisbiy chastotalar ketma-ketligiga aytiladi. Statistik taqsimotni yana intervallar va ularga tegishli chastotalar ketma-ketligi ko’rinishida ham berish mumkin.
Taqsimot deyilganda ehtimollar nazariyasida tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari va ularning ehtimollari orasidagi moslik, matematik statistikada esa kuzatilgan variantalar va ularning chastotalari va nisbiy chastotalari orasidagi moslik tushuniladi.
Misol: Hajmi 20 bo’lgan tanlanmaning chastotalar taqsimoti berilgan:
x_i 2 6 12
n_i 3 10 7
Nisbiy chastotalar taqsimoti ko’rinishida yozing.
Yechish: w₁=n₁/n=3/20=0,15. w₂=10/20=0,5. w₃=0,35.

U holda:
x_i­ 2 4 12

n_i 0,15 0,5 0,35
Tekshirish: w₁+w₂+w₃=0,15+0,5+0,35=1.


Taqsimotning empirik funksiyasi

Aytaylik, X son belgi chastotalarning statistik taqsimoti ma’lum bo’lsin. N_x-belgining x dan kichik qiymati kuzatilgan kuzatishlar soni; n-tanlanma hajmi. Ravshanki, X<x hodisaning nisbiy chastotasi n_x/n ga teng. Agar x o’zgaradigan bo’lsa, u holda umuman aytganda, nisbiy chastotasi ham o’zgaradi, ya’ni n_x/n nisbiy chastota x ning funksiyasidir. Bu funksiya empirik yo’l bilan topiladiganligi uchun u empirik funksiya deyiladi.

Taqsimotning empirik funksiyasi deb, har bir x qiymati uchun X<x hodisaning ehtimolini aniqlaydigan F*(x) funksiyaga aytiladi. Shunday qilib ta’rifga ko’ra F*(x)=n_x/n.
Bosh to’plam taqsimotining F(x) integral funksiyasini, tanlanma taqsimotining empirik funksiyasidan farq qilib taqsimotning nazariy funksiyasi deyiladi. E mpirik va nazariy funksiyalar orasidagi farq shundaki, F(x) nazariy funksiya X<x hodisa ehtimolini, F*(x) empirik funksiya esa shu hodisaning o’zining nisbiy chastotasini aniqlaydi. Bernulli teorеmasidan kelib chiqadiki, X<x hodisaning nisbiy chastotasi, ya’ni А*(x) shu hodisaning F(x) ehtimoliga ehtimol bo’yicha yaqinlashadi. Boshqacha so’z bilan aytganda F*(x) va F(x) sonlar bir-biridan kam farq qiladi. Shu yerning o’zidanoq, bosh to’plam taqsimotining nazariy funksiyasini taqribiy tasvirlashda tanlanma taqsimotining empirik funksiyasidan foydalanishi maqsadga muvofiq bo’lishi kelib chiqadi.
Bunday xulosa shu bilan ham tasdiqlanadiki, F*(x) funksiya F(x) ning barcha xossalariga ega. Darhaqiqat, F*(x) funksiyaning ta’rifidan uning quyidagi xossalari kelib chiqadi.
1). Empirik funksiya qiymatlari [0,1] kesmaga tegishli;
2). F*(x) - kamaymaydigan funksiya;
3). x₁ - eng kichik varianta bo’lsa, u holda X x₁ da F*(x)=0;
x_k – eng katta varianta bo’lsa, u holda X>x_k da F*(x)=1;
Shunday qilib, tanlanma taqsimotning empirik funksiyasi bosh to’plam taqsimotning nazariy funksiyasini baholash uchun xizmat qiladi.
Misol: Tanlanmaning quyida berilgan taqsimoti bo’yicha uning empirik funksiyasini tuzing.
Variantalar: x_i 2 6 10
Chastotalar: n_i 12 18 30