Matematik modellashtirishning asosiy tushunchalari. Modelь va uning turlari

Modda massasining saqlanish qonuni.

Faraz qilaylik, uncha ko`p bo`lmagan radioaktiv modda (uran) «oddiy» material (qo`rg`oshin) ning qalin qatlami bilan o`ralgan bo`lsin. Ushbu holat bo`linuvchi materiallarni saqlashda yoki ulardan energetikada foydalanishda uchrab turadigan tabiiy holdir.

4.3-rasm.
«Uncha ko`p bo`lmagan» iborasi ostida soddalashtirilgan hol, aniqrog`i, yemirilishda qatnashgan barcha mahsulotlar moddaning atomlari bilan to`qnashmagan holda I sohani hech qanday qiyinchiliklarsiz tark etishi tushuniladi. Boshqa so`z bilan aytganda, birinchi moddadagi yemirilish mahsulotlarining erkin yugurib o`tish uzunligi materialning xarakterli o`lchami dan anchagina kattadir, ya’ni . Agar ikkinchi moddadagi yemirilish mahsulotlarining erkin yugurib o`tish uzunligi materialning xarakterli o`lchamidan anchagina katta, ya’ni bo`lsa ajraluvchi mahsulotlar II sohada to`la yutiladi (4.3-rasm).
Shunday qilib, I sohadan uchib chiqadigan barcha moddalar II sohada yutiladi va ikkala moddaning umumiy massasi vaqt o`tishi bilan o`zgarmaydi. Aytib o`tilgan mulohazalar berilgan vaziyatga nisbatan tadbiq etilgan moddaning saqlanish qonunidir. Agarda boshlang`ich vaqt momenti da moddalarning massalari mos holda va teng bo`lgan bo`lsa, u holda ixtiyoriy vaqt momentida
(3)
muvozanat o`rinli bo`ladi. Ikkita va massalarning joriy qiymatlarini aniqlash uchun (3) tenglamaning o`zi yetarli bo`lmaydi. Matematik bayonni oxiriga yetkazish uchun yemirilish jarayonini qo`shimcha mulohazalarni jalb etgan holda o`rganish kerak. Ushbu mulohaza quyidagicha: yemirilish tezligi (birlik vaqt ichida yemiriluvchi atomlar soni) radioaktiv moddadagi atomlarning umumiy soniga proportsional. va momentlar orasidagi vaqt oralig`ida jami yemiriluvchi atomlar soni

miqdorga teng bo`ladi. Bu yerda moddaning saqlanish qonuni butun jarayonga emas, faqatgina vaqt oralig`i uchun ikkinchi marotaba qo`llanilgan. Atomlarning muvozanatini ta’riflovchi mazkur tenglamaning o`ng tomonida modda kamayishini anglatuvchi minus ishorasi turibdi, kattalik esa ko`rilayotgan vaqt ichida atomlar sonining o`rtacha qiymatini ifodalaydi. Uni differentsial shaklda yozamiz:
.
( - I moddaning atom og`irligi) ekanligi hisobga olinsa, quyidagini hosil qilish mumkin:
. (4)
Ixtiyoriy radioaktivlikda har qanday atom o`zining atrofidagi moddaning holatiga bog`liq bo`lmagan yemirilish ehtimolligiga ega bo`ladi. Shuning uchun, radioaktiv modda qanchalik ko`p (kam) bo`lsa, birlik vaqt ichida shunchalik ko`p (kam) mahsulot ajralib chiqadi. Proportsionallik koeffitsiyenti (yemirilish doimiysi) har bir konkret modda uchun turli qiymatlarga ega.
(3), (4) tenglamalar , shartlar hamda va kattaliklar bilan birgalikda o`rganilayotgan ob’yektning matematik modelini tashkil etadi.
(4) ni integrallab, bo`linuvchi (ajraluvchi) moddaning massasi eksponentsial qonun bo`yicha kamayishini ko`rish mumkin:
.
Ushbu tenglikdan ko`rinib turibdiki, da I sohada moddalar butunlay yutiladi, ya’ni I sohadagi moddalar butunlay II sohaga o`tib ketadi. Umumiy massa (3) tenglikga ko`ra o`zgarmasdan qolganligi uchun, II sohadagi modda miqdori ortib boradi:
,
bu tenglikdan ko`rinib turibdiki, vaqt o`tishi bilan, ya’ni da I sohadagi moddalar butunlay yemirilib, II sohaga o`tib ketadi.