Matematik mantiq elementlari

Induksiya — ayrim fikrlardan umumiy xulosalar chiqarishda va mantiqiy tadqiqotlarda qo‘llaniladigan muhokama usuli. Xususiylikni o‘rganib, umumiylik bilib olinadi. Umumiylik pred­met va hodisalar bilan uzviy aloqada bo‘ladi. Induksiya bilimlarning tashkil topishida, qonuniyatlarni ochishda, tushunchalarni maydonga chiqarish jarayonida, gipotezani olg‘a surishda fan uchun muhim ahamiyatga ega.
Deduksiya — mantiq qoidalariga ko‘ra xulosa chiqarish. Dastlab formal mantiqda umumiylikdan xususiylik, ayrimlik tomon muhokama yuritish deduksiya deb atalgan. Masalan, “All men are mortal” va “Socrates is a man” degan ikki hukmdan deduktiv yo‘l bilan «Socrates is mortal» degan yangi hukm (xu­losa) chiqariladi.
Hozirgi zamon fanida «Deduksiya» termini keng ma’noda qo‘llanilib, muayyan hukmdan mantiq qonunlari asosida xulosa chiqarish tushuniladi. Agar asos qilib olingan hukm haqiqiy va deduksiya qonunlariga rioya qilingan bo‘lsa, undan chiqariladigan xulosa ham haqiqiy bo‘ladi.
O‘z-o‘zidan ravshanligi, ayonligi sababli isbotsiz qabul qilinadigan holat, tasdiq, fikr aksioma deb atalishini eslatib o‘tamiz. 
Deduktiv me­tod turli shakllarda, xususan aksio­matik metod, shuningdek, gipotetik — deduktiv metod shaklida uchraydi. Mavjud faktik materiallardan deduk­tiv yo‘l bilan nazariya yaratishda asos bo‘ladigan fikrlar majmuasi (aksio­ma va boshqalar) tanlab olinib, mantiq qo­nunlari asosida ulardan boshqa bilimlar hosil qilinadi.
4. Aksiomatik metod birinchi marta qadimgi yunon geometrlari asarlarida shakllana boshlagan. Evklidning «Negizlar» (miloddan avval 300-yillar) asarida bayon etilgan geo­metrik sistema aksiomatik usul bilan nazariya qurish namunasidir. Bu asar jami bo‘lib 13 bobdan iborat bo‘lib, uning 1-4 boblarida planimetriyaning aksiomatik nazariyasi qurilgan. Mazkur geometriyaning asosiy aksiomatik tushunchalari «nuqta», «to‘g‘ri chiziq», «tekislik» bo‘lib, ular ideal fazoviy ob’yektlar sifatida olib qaralgan; geometriyaning o‘zi esa fizikaviy fazoning xususiyatlarini o‘rganuvchi ta’limot sifatida talqin qilingan. Evklid geometriyasining qolgan barcha tushunchalari ular yordamida hosil qilingan.
Evklidning «Negizlari» deyarli barcha dunyo tillariga tarjima qilingan. 
19-asr oxiri va 20-asr boshlarida turli geometriyalar (Lobachevskiy geometriyasi, Proektiv geometriya, Riman geometriyasi kabi), algebralar (Bul algebrasi, kvaternionlar algebrasi, Keli algebrasi kabi), cheksiz o‘lchovli fazolar kabi mazmunan juda xilma-xil, ko‘pincha sun’iy tabiatli ob’yektlar o‘rganila boshlanishi bilan matematikaning yuqoridagi ta’rifi o‘ta tor bo‘lib qolgan. Bu davrda matematik mantiq va to‘plamlar nazariyasi asosida o‘ziga xos mushohada uslubi hamda tili shakllanishi natijasida matematikada eng aso­siy xususiyat — qatiy mantiqiy mu­shohada, degan g‘oya vujudga keldi (J. Peano, G. Frege, B. Rassel, D. Gilbert).
19-asr oxiri— 20-asr boshlariga kelib matematika asoslarini mustahkamlash bo‘yicha katta qadamlar qo‘yildi: haqiqiy sonlar nazariyasi tugallandi (Veyershtrass, Dedekind), matematik mantiq shakllandi (Peano, Frege), funksiyalar nazariyasi yaratildi (Riman, Lebeg, Fubini, Stiltes), geometriyaning aksiomalar sistemasi takomilga etkazildi (Gilbert), to‘plam tushunchasining ahamiyati anglandi, bu tushuncha asosida geometriya kabi butun matematikani ham qat’iy aksiomalar asosiga qurishga ishonch paydo bo‘ldi.
19-asr ikkinchi yarmidan matematikaning turli sohalari aksiomatik metod bilan qurila boshlandi (turli geometriyalar, arifmetika, ehtimolliklar nazariyasi va b.). Aksiomatik metodning keyingi taraqqiyoti, mukammalashuvi D. Gilbert kiritgan formal sistema va forma­lizm metodi bilan bog‘liq.
Ammo matematika asoslariga chuqurroq kirishilgani sayin muammolar ham o‘tkirlashib bordi — 20-asrning boshlari matematika tarixidagi eng chuqur inqirozga to‘qnash keldi — matematikaning asoslarida chuqur ziddiyatlar ochila boshladi (Burali — Forti, Rassel, Rishar, Grelling paradokslari). Ularni engib o‘tish yo‘lidagi urinishlar natijasida to‘plamlar nazariyasining aksiomatik nazariyasi yaratildi (Sermelo, Frenkel, Bernays, J. Fon Neyman) va «matematika binosi yaxlit mukammal loyiha asosiga qurilgani» haqidagi Gilbert tasavvuri qayta tiklandi.
Struktura deb o‘zaro bog‘langan va shartlangan munosabatda bo‘lgan elementlardan tashkil topuvchi butunlik tushuniladi. Strukturaga bunday yondashuv o‘rganilayotgan ob’yektni uni tashkil etgan elementlar o‘rtasidagi ichki aloqa va bog‘liqlikni yoritishni talab etadi
20-asr o‘rtalarida Burbaki^[4] taxallusi ostida matematika asoslarini qayta ko‘rib chiqqan bir guruh fransuz matematiklari «Matematika —matematik strukturalar majmuasi » degan ta’rif kiritdi.
XX asr boshqa fanlar taraqqiyotida bo‘lgani kabi gumanitar, xususan lingvistika tarixida ham asosiy e’tiborning ob’yektga substansional nuqtai nazardan yondashuvdan struktur-funksional nuqtai nazardan yondashuvga o‘tishi bilan xarakterlanadi. Bunga F.de Sossyurning “Umumiy lingvistika kursi”da bayon qilingan “til substansiya emas, balki shakldir” degan bosh g‘oyasi sababchi bo‘ldi.
Struktura tilshunoslik tilga belgilar sistemasi sifatida qaraydi va tilshunoslikni belgi nazariyasi bilan shug‘ullanuvchi semiotikaning tarkibiy qismi deb baholaydi.
Hozirgi zamon tilshunosligida til o‘ziga xos semiologik sistema (belgi-ishoralar sistemasi), ya’ni “til g‘oyalarni ifodalovchi belgilar sistemasi” ekanligi qabul qilinib, jamiyatda asosiy va eng muhim fikr almashish quroli, jamiyat tafakkurining rivojlanishini ta’minlovchi, avloddan—avlodga madaniy—tarixiy an’analarni etkazuvchi vosita xizmatini o‘tashi taqidlangan.
Tilni hosil qilgan lingvistik ob’yektlar ularga ma’lum darajada o‘xshash matematik strukturalar yordamida yaxshi ifodalanishi ma’lum.
Shuning uchun ham hozirgi zamonda matematik usullar gumanitar fanlarning asosi bo’lmish tilshunoslikda uchraydigan hodisalarni va faktlarini tushuntirishga va bashorat qilishga qodir bo‘lgan matematik modellarini qurishga hamda tahlil qilishga samarali qo‘llanilmoqda. 
20-asrning 50-yillardan boshlab matematikaning tabiiy tilni hosil qilgan ob’yektlar bilan ba’zi bir jihatlardan o‘xshash bo‘lgan mavhum strukturalarni o‘rganuvchi matematik lingvistika (lot. lingua – til) deb nomlangan fan vujudga keldi.
Ko‘pincha tilshunoslikda matematik usullarni qo‘llash intuitiv tarzda qo‘yilgan masalani bitta yoki bir nechta soddaroq va mantiqan to‘g‘ri qo‘yilgan matematik masalalar bilan almashtirsa bo‘ladi. Odatda bunday masalalar algoritmik yechimga ega, shuning uchun ham bunday yondashish zamonaviy kompyuter vositalari yordamida og‘zaki muloqotning avtomatik tarzda analiz va sintez qilish, axborotlarni qayta ishlash, avtomatik tarjima tizimlarini yaratish uchun zarurdir.
Shu bilan birga matnlarni lingvistik jihatdan tahlil qilish, leksiko-grammatik hodisalarni topish, funksional va pragmatik tomondan matnning strukturaviy-semantik va stilistik xususiyatlarini anglashida ma’lum darajada matematik taffakkur metodlaridan foydalanishi maqsadga muvofiq^[5].
Matematik lingvistika tilshunoslik bo‘limi sifatida tabiiy til­lar hodisalarini va ularni tadqiq etish jarayonlarini mavhumiy-semiotik modellashtirish usulidan foydalanadi; matematik fan sifatida esa ana shu modellarning eng umumiy xossalarini tadqiq etadi va ularning tuzilish usullarini o‘rganadi.
Uning asosiy tushunchalari — asos qilib olingan belgi-ishoralar (alifbo, lug‘at) va ma’lum alifbo belgi-ishoralarining ketma-ketliklari (so‘z shakllar, iboralar) kabi tushunchalardir. Bu asosiy tushunchalar tilshunoslikning har bir sathida qo‘llanadi. SHuning uchun ham o‘z maqsad-vazifasiga kura, matematik lingvistika eng avvalo nazariy tilshunoslik vositasi hisoblanadi.